.

14. ESERCIZI

14.1 Sia $\mathcal{A}$ spazio affine su $\mathbf{V}$ e siano $\mathcal{S},\mathcal{T} \subseteq \mathcal{A}$ sottospazi affini; supponiamo $\mathcal{T}$ iperpiano e $\mathsf{dim}\mathcal{S}\geq 1$ ; vale:

$\begin{displaymath}\mathcal{S} \parallel\mathcal{T} \;\Leftrightarrow\; \mathcal... ...mbox{\textit{oppure}}\;\; \mathcal{S} \cap\mathcal{T}=\emptyset\end{displaymath}$

14.2 Sia $\mathcal{A}$ spazio affine su $\mathbf{V}$ e siano $P \in \mathcal{A}$ e $\mathcal{S} \subseteq \mathcal{A}$ sottospazio affine di dimensione ; per il V postulato di Euclide esiste un unico sottospazio affine di $\mathcal{A}$ $\mathcal{T}$ di dimensione , passante per e parallelo a $\mathcal{S}$ ;

Sia $\mathcal{L}\subseteq \mathcal{A}$ un sottospazio affine passante per ; dimostrare che:

$\begin{displaymath}\mathcal{L}\parallel \mathcal{S}\;\;\Leftrightarrow\;\;\mathc... ...hcal{T}\mbox{\textit{ oppure }}\mathcal{L}\supseteq \mathcal{T}\end{displaymath}$

14.3 Sia $\mathcal{A}$ spazio affine su $\mathbf{V}$ e siano $\mathcal{S},\mathcal{T},\mathcal{L} \subseteq \mathcal{A}$ sottospazi affini; supponiamo $\mathcal{S} \parallel\mathcal{T}$ $\mathsf{dim}\mathcal{S}\leq \mathsf{dim}\mathcal{T}$ ; dimostrare che:

$\begin{displaymath}\mathcal{L} \subseteq \mathcal{S}\;\Rightarrow\;\mathcal{L} \parallel \mathcal{T}\end{displaymath}$

Mostrare con l'uso di disegni che la condizione $\mathsf{dim}\mathcal{S}\leq \mathsf{dim}\mathcal{T}$ non può essere tralasciata.

14.4 Sia $\mathcal{A}$ spazio affine su $\mathbf{V}$ e siano $\mathcal{H} \subseteq \mathcal{A}$ e $\mathit{l} \subseteq \mathcal{A}$ rispettivamente un iperpiano e una retta affine di $\mathcal{A}$ .
Provate che $\mathcal{H} \parallel\mathit{l}$ oppure $\mathcal{H} \cap \mathit{l}$ consiste di un solo punto.

Si noti che quest'ultimo risultato generalizza ad uno spazio affine astratto il classico risultato relativo allo spazio ordinario che afferma che un piano e una retta (nel senso della geometria elementare) sono paralleli oppure si intersecano in un punto.