14.1
$\Rightarrow$) È vera in generale (vedi primo punto di proposizione 12).

$\Leftarrow$) Se $\mathcal{S} \subseteq\mathcal{T}$ allora $\mathcal{S} \parallel\mathcal{T}$ in generale; supponiamo che $\mathcal{S} \cap\mathcal{T}=\emptyset$ e facciamo vedere che $\mathcal{S} \parallel\mathcal{T}$; equivalentemente dimostreremo l'implicazione $\mbox{\lq\lq }\mathcal{S}\not\, \parallel \mathcal{T}\;\Rightarrow\;\mathcal{S} \cap\mathcal{T} \neq\emptyset\mbox{''}$; certamente da $\mathcal{S}\not\, \parallel\mathcal{T}$ segue $\mathsf{giac}\mathcal{S}\not\subseteq\mathsf{giac}\mathcal{T}$; da ciò segue, da considerazioni di algebra lineare, che e di qui, procedendo esattamente come nella dimostrazione dell'esercizio 16.1 della sezione "Sottospazi affini" si trova che $ \mathcal{S}\cap\mathcal{T} \neq \emptyset$.



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