.

14.4 Per l'esercizio 14.1 sappiamo che $\mathcal{H} \cap \mathit{l} = \emptyset \;\Rightarrow\; \mathcal{H} \parallel\mathit{l}$ ; viceversa sia $\mathcal{H} \cap \mathit{l} \neq \emptyset$ ; dobbiamo provare che $\mathcal{H} \parallel\mathit{l}$ oppure che $\exists\;P\in \mathcal{A}\;:\;\mathcal{H} \cap \mathit{l}=\{P\}$ .
Se $\mathit{l}\subseteq\mathcal{H}$ allora $\mathit{l}\parallel\mathcal{H}$ , supponiamo quindi $\mathcal{H} \cap \mathit{l} \neq \emptyset$ e $\mathit{l}\not\subseteq\mathcal{H}$ , allora in virtú di esercizio 9 della sezione "Sottospazi affini" possiamo affermare che $\mathsf{giac}\mathit{l}\not\subseteq\mathsf{giac}\mathcal{H}$ ; di qui , da considerazioni di algebra lineare segue $\mathsf{giac}\mathit{l}+\mathsf{giac}\mathcal{H}=\mathbf{V}$ ; allora da esercizio 16.2 della sezione "Sottospazi affini" segue che $\mathsf{dim}(\mathcal{H}\cap\mathit{l})=0$ cioè $\mathcal{H} \cap \mathit{l}$ consiste di un solo punto.