14.2 $\Rightarrow$ Per ipotesi abbiamo che $\mathsf{giac}\mathcal{S}\subseteq\mathsf{giac}\mathcal{L}$ oppure $\mathsf{giac}\mathcal{S}\supseteq\mathsf{giac}\mathcal{L}$; d'altra parte abbiamo anche che $\mathsf{giac}\mathcal{S}=\mathsf{giac}\mathcal{T}$ per cui $\mathsf{giac}\mathcal{T}\subseteq\mathsf{giac}\mathcal{L}$ oppure $\mathsf{giac}\mathcal{T}\supseteq\mathsf{giac}\mathcal{L}$ infine, ricordando che $\mathcal{T}$ e $\mathcal{L}$ non sono disgiunti -ci sta certamente $P$- otteniamo che $\mathcal{T}\subseteq\mathcal{L}$ oppure $\mathcal{T}\supseteq\mathcal{L}$ (si veda esercizio 9 della sezione "Sottospazi affini").

$\Leftarrow$ Viceversa supponiamo che $\mathcal{T}\subseteq\mathcal{L}$ oppure $\mathcal{T}\supseteq\mathcal{L}$ allora $\mathsf{giac}\mathcal{T}\subseteq\mathsf{giac}\mathcal{L}$ oppure $\mathsf{giac}\mathcal{T}\supseteq\mathsf{giac}\mathcal{L}$; ma essendo $\mathsf{giac}\mathcal{S}=\mathsf{giac}\mathcal{T}$ per cui otteniamo $\mathsf{giac}\mathcal{S}\subseteq\mathsf{giac}\mathcal{L}$ oppure $\mathsf{giac}\mathcal{S}\supseteq\mathsf{giac}\mathcal{L}$ e cioè $\mathcal{L}\parallel \mathcal{S}$.




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