Prova Scritta - Algebra e Geometria

16-12-2003 - A.A. 2002-2003 - Prof. A. Gimigliano

Siano dati, in R³, i punti P₁ = (1, 2, 0); P₂ = (1, -1, 1); P₃ = (a+1, 2-b+k ,1-k) e la retta:

r=		x= at + 1
		y= 2t - b
		z= -t + 2

Determinare se esistono i valori di k, per cui:

1) P₃ r

2) il piano per P₁, P₂, e P₃ sia parallelo ad r;

3) P₁, P₂, e P₃ siano allineati.

Soluzione

1) Sostituisco le coordinate di P₃ nelle equazioni parametriche della retta che esprimono le coordinate di tutti i punti della retta stessa:

	a + 1 = at + 1		t = 1
	2 - b + k = 2t - b		k = 0
	1 - k = -t + 2		1 = 1

Per k = 0 il punto P₃ = (a+1, 2-b,1) appartiene alla retta r.

2) Per trovare l'equazione del piano π passante per i tre punti P₁, P₂, P₃ utilizziamo il corollario 1.3.a

		k-1	y-2	z
det		0	-3	1		= 0		risolviamo ora il determinante:
		a	2-b+k-2	1-k

 

-3(1 - k)(x - 1)+a(y - 2) + 3az - (x - 1)(k - b) = 0

-3(x - 1 - kx + k) + ay - 2a + 3az - kx + bx + k - b = 0

-3x + 3 + 3kx - 3k + ay - 2a + 3az - kx + bx + k - b = 0

π: (-3 + 2k + b)x + ay + 3az + 3 - 3k - 2a + k - b = 0

Ora per la proposizione 3.2 sappiamo che un piano è parallelo ad una retta se e solo se:

(-3 + 2k + b)a + 2a - 3a = 0 dove (l, m, n) = (a, 2, -1) è il vettore direttore della retta r;

Risolviamo l'equazione e otteniamo:

-3a + ab + 2ak + 2a - 3a = 0

-4a + ab + 2ak = 0 quindi k = (4a - ab) / 2a .

3) Come prima cosa scriviamo l'equazione parametrica della retta passante per P₁ e P₂ (utilizzando come vettore direzione il vettore  P₁ - P₂).

r=		x=1
		y= 3t + 2
		z= -t

sostituisco le coordinate del punto P₃ = (a+1, 2-b+k ,1-k) e ottengo:

	a+1 = 1		a = 0		a = 0
	2 - b+k = 3t + 2		t = 1/3(k - b)		k - 1 = 1/3(k - b)
	1-k = -t		t = k - 1		t = k - 1

Quindi  solo se  a = 0  e   k - 1 = 1/3(k - b),  cioè   k = 3/2(1-b),  allora il punto  P₃  appartiene alla retta  P₁P₂  e quindi i punti P₁ ,P₂ e P₃  sono allineati.

 

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