La retta e il Piano>>Paralleli

Consideriamo ora tutti i casi che si possono presentare considerando la retta e il piano e le loro posizione relativa.

Definizione 3.1

Dati nello spazio una retta r e uno piano π, si dice che π è parallelo a r o equivalentemente che r è parallela a π, e si scrive r // π, ossia π // r, se r è contenuta in π o se r e π non hanno punti in comune. In breve:
   
  r // π r π oppure r π = ø
 
 
 
Proposizione 3.2  
 
Consideriamo una retta r e un piano π rispettivamente di equazioni cartesiane:

 

r Ax + By + Cz + D = 0 π: A''x + B''y + C''z + D'' = 0
A'x + B'y + C'z + D = 0
1. r e π sono paralleli se e solo se:  
det A B C        
A' B' C' = 0 o equivalentemente A''l + B''m + C''n = 0 dove (l, m, n) è il vettore direttore della retta r.
A'' B'' C''        
     

Se la 1. è soddisfatta allora r e π sono parelli e disgiunti oppure r è contenuta in π a seconda che la matrice M:

 
  A B C D
.
  abbia rango 2 oppure 3
M = A' B' C' D'
  A'' B'' C'' D''
2. Se r e π non sono paralleli, allora sono incidenti ed r intersecato π consiste in un solo punto; ciò avviene se e solo se:
 
det A B C      
A' B' C' 0 o equivalentemente A''l + B''m + C''n ≠ 0
A'' B'' C''