Esercizio 4
Si considerino nello spazio i punti P = (3, 2, 1) e Q = (2, 2, 4) e le rette r e s rispettivamente di equazioni :
| r: |  |
x = -1 + 3t | s: |  |
x - 2y - z = 0 |
| y = 2 + t | x + y + z = 6 | ||||
| z = - 2t |
Determinare:
a) la posizione reciproca di r e s;
b) le equazioni cartesiane della terra r' passante per P e incidente sia r che s;
c) l'equazione cartesiana del piano π parallelo a r ed s passante per Q.
Soluzione a)
Calcoliamo i vettori direttori vr , vs rispettivamente della retta r e della retta s :
| vr = (3, 1, -2) , mentre per la retta s abbiamo | che vs = (ls, ms, ns) |
| ls = det |  |
-2
|
-1
|
 |
= -1; | ms= - det | |
1
|
-1
|
|
= -2; | ns= det | |
1
|
-2
|
|
=3 | |
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
e otteniamo: vs = (-1, -2, 3)
I vettori vr , vs non sono proporzionali, quindi r e s non sono parallele.
Verifichiamo se sono incidenti risolvendo il sistema formato dalle equazioni delle due rette r, s:
|
-1 + 3t - 4 -2t + 2t = 0 | |
3t = 5 | Il sistema è incompatibile! | |
| -1 + 3t +2 + t -2 + t = 0 | 2t = 5 |
Le rette r ed s non sono parallele e non sono incidenti, quindi sono sghembe.
Soluzione b)
La retta r' si determina come l'intersezione di due piani π1 e π2 tali che:
1) π1 contiene r e passa per P
2) π2 contiene s e passa per P
1) Ricaviamo le equazioni cartesiane della retta r :
|
x = -1 + 3t | |
| y = 2 + t |
e ora ci ricaviamo il parametro t e scriviamo le cartesiane
|
|
| z = - 2t |
|
x = -1 + 3y - 6 | |
x = 3y - 7 | |
x - 3y + 7 = 0 |
| t = y - 2 | z = -2y + 4 | z + 2y - 4 = 0 | |||
| z = -2y + 4 |
Consideriamo il fascio di rette che ha come asse la retta r: l (x - 3y + 7) + m (z + 2y - 4) = 0 e imponiamo il passaggio per il punto P = (3, 2, 1) :
l (3- 6 + 7) + m (1 + 4 - 4) = 0 
4l + m = 0
Scegliamo per esempio l = 1 e m = -4 e otteniamo l'equazione del piano:
| x - 3y + 7 - 4z - 8y + 16 = 0 | x - 11 y - 4z + 23 = 0 |
Quindi π1: x - 11 y - 4z + 23 = 0 e il piano che contiene r e passa per P.
Con lo stesso ragionamento possiamo trovare π2:
il fascio proprio di piani contenente s è l (x - 2y - z ) + m (x + y + z - 6) = 0, vogliamo che passi per P, ovvero che P soddisfi l'equazione del fascio; quindi:
l (3 - 4 - 1 ) + m (3 + 2 + 1 - 6) = 0 - 2l = 0 l = 0 e per m possiamo scegliere un valore qualsiasi, per esempio m = 1. Sostituendo i valori trovati di l e m otteniamo l'equazione di π2:
π2: x + y + z - 6 = 0.
La retta r' data dall'intersezione di π1 e π2 avrà le seguenti equazioni cartesiane:
|
x - 11y - 4z + 23 = 0 |
| x + y + z - 6 = 0 |
Soluzione c)
Per calcolare l'equazione cartesiana del piano π parallelo a r ed s passante per Q utilizziamo la proposizione 3.5 e ooteniamo:
 |
x - 2
|
y - 2
|
z - 4
|
 |
||||
| det |
3
|
1
|
-2
|
= 0 , | calcoliamo il determinante: (ad esempio con Sarrus) | |||
|
-1
|
-2
|
3
|
||||||
3x - 6 - 6z + 24 + 2y - 4 + z - 4 - 9y + 18 - 4x + 8= 0 e cioè x + 7y + 5z - 36 = 0;
