Test>>Esercizi>>esercizio 1>>soluzione 1.a1

Esercizio 1

Dati in V3 i tre piani di equazioni: x + y + 2z = u, vx + y - 2z = uv , ux - 2z = 1

a) si determini discutendo il sistema al variare dei parametri u e v
1. le due coppie (u1, v1), (u2, v2) per cui i tre piani passano per una stessa retta (rispettivamente r1, r2);
2. l' insieme A di coppie (u, v) per cui i tre piani sono paralleli ad una stessa retta;

3. l'insieme B di coppie (u, v) per cui i tre piani passano per uno stesso punto.
b) Nel caso 1. si scrivano le equazioni di r1, r2.

Soluzione 1.a.1

Mettiamo a sistema le equazioni dei tre piani: x + y + 2z = u
vx + y - 2z = uv
ux - 2z = 1

e consideriamo le matrici dei coefficenti del sistema:

 
1
1
2
  
1
1
2
u
  
Mi = v 1
- 2
Mc=
v
 1
- 2
uv
  
  u 0
- 2
 
u
0
- 2
1
  

Ricordando il teorema di Rousché-Capelli e la tabella riassuntiva delle posizioni reciproche dei piani avremo che:

1. questo caso, ovvero che i piani si intersechino in una retta, si verifica quando le soluzioni del sistema lineare sono:

rg(Mi)
rg(Mc)
soluzioni del sistema lineare omogeneo
2
2
= soluzioni

ovvero quando Mc e Mi hanno lo stesso rango rg = 2. Abbiamo pertanto individuato (in rosso) nelle matrici Mc e Mi un minore non nullo di ordine 2, M2,3, e per la definizione di rango, affinchè Mc e Mi abbiano rg = 2 ci basterà imporre la condizione che tutti i minori di ordine maggiore di 2 che orlano M2,3 abbiano determinante nullo, quindi:

Mi ha rango 2 se :

det 1 1
2
        
v 1 -2 =0 - 2 - 2u - 2u + 2v = 0 - 2 - 4u + 2v= 0 2u - v + 1 = 0
u 0 -2        

Mc ha rango 2 se

det 1
2
u
        
1
-2
uv
 =0 - 2 - 2u - 2 + 2uv = 0 - 4 - 2u + 2uv= 0 uv - u - 2 = 0
0
-2
1
        

Mettiamo a sistema le due equazioni trovate e calcoliamoci u e v:

2u - v + 1 = 0 v = 2u + 1 v = 2u + 1 (u1, v1) = (1, 3)
uv - u - 2 = 0 2u2- 2 = 0 u = ± 1 (u2, v2) = (-1, -1)

 

  
torna all'esercizio
  
soluzione 1.a.2