|
Ax + By + Cz + D = 0 | |
| Dato il sistema lineare non omogeneo: | A'x + B'y + C'z + D' =0 | |
| A''x + B''y + C''z + D'' = 0 |
consideriamo Mi e Mc rispettivamente la matrice incompleta e completa:
| Mi = |  |
A | B | C |  |
Mc = |
|
A | B | C | D | |
|
| A' | B' | C' | A' | B' | C' | D' | |||||||
| A'' | B'' | C'' | A'' | B'' | C'' | D'' |
se indichiamo con ri il rango della matrice incompleta e con rc il rango della matrice completa per il teorema di Rauschè-Capelli si possono verificare i seguenti casi:
ri |
rc |
soluzioni del sistema lineare omogeneo |
3 |
3 |
1 soluzione = sistema normale |
2 |
3 |
nessuna soluzione = sistema impossibile |
2 |
2 |
|
1 |
2 |
nessuna soluzione = sistema impossibile |
1 |
1 |
 =  soluzioni |
Se interpretiamo le equazioni che abbiamo considerato come equazioni di tre piani π, π', π'', dello spazio, le soluzioni della tabella rappresenterannp le possibili posizioni dei piani che otteniamo intersecandoli. Quindi avremo che:
ri |
rc |
soluzioni del sistema lineare omogeneo |
3 |
3 |
i piani hanno in comune un punto |
2 |
2 |
i piani hanno in comune una retta |
1 |
1 |
i piani coincidono |
= 
soluzioni