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Esercizio 1

Dati in V3 i tre piani di equazioni: x + y + 2z = u,  vx + y - 2z = uv,  ux - 2z = 1

a) si determini discutendo il sistema al variare dei parametri u e v
 

1. le due coppie (u1, v1), (u2, v2) per cui i tre piani passano per una stessa retta (rispettivamente r1, r2);

2. l' insieme A di coppie (u, v) per cui i tre piani sono paralleli ad una stessa retta;

3. l'insieme B di coppie (u, v) per cui i tre piani passano per uno stesso punto.

 

b) Nel caso 1. si scrivano le equazioni di r1, r2 .

Soluzione 1.a.2

Per rispondere alla domanda 2 possiamo fare lo stesso ragionamento che abbiamo fatto risolvendo il quesito1, quindi avremo che i piani sono paralleli ad una stessa retta se le soluzioni del sistema lineare sono:

rg(Mi)
rg(Mc)
soluzioni del sistema lineare omogeneo
2
3
nessuna soluzione = sistema impossibile

ovvero quando:

2u - v + 1 = 0 v = 2u + 1   ovvero A = {(u,2u + 1) in R2 | (u± 1 )}
uv - u - 2 ≠ 0 2u2- 2 ≠ 0      
 
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soluzione 1.a.3