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Esercizio 1

Dati in V3 i tre piani di equazioni: x + y + 2z = u,  vx + y - 2z = uvux - 2z = 1
a)si determini discutendo il sistema al variare dei parametri u e v
 

1. le due coppie (u1, v1), (u2, v2) per cui i tre piani passano per una stessa retta (rispettivamente r1, r2);

2. l' insieme A di coppie (u, v) per cui i tre piani sono paralleli ad una stessa retta;

3. l'insieme B di coppie (u, v) per cui i tre piani passano per uno stesso punto

 

b) Nel caso 1. si scrivano le equazioni di r1, r2 .

Soluzione 1.a.3

Per rispondere alla domanda 3 possiamo fare lo stesso ragionamento che abbiamo fatto risolvendo il quesito 1, quindi avremo che i piani si intersecano in uno stesso punto se:

rg(Mi)
rg(Mc)
soluzioni del sistema lineare omogeneo
3
3
1 soluzione = sistema normale

ovvero quando det Mi ≠ 0 quindi: B = {(u,v) in R2 | 2u - v +1 = 0}

 

 
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  soluzione 1.b