Forme hermitiane

$\qquad$ Mentre per il caso reale è possibile definire i concetti di natura metrica della geometria euclidea attraverso le forme bilineari simmetriche, nel caso $K \neq \mathbf{R}$ cioè non è sempre possibile, perché può mancare la nozione di positività.
Nel caso $K=\mathbf{C}$ però, ha senso porsi un problema analogo, sostituendo il concetto di forma hermitiana al posto di quello di forma bilineare simmetrica.

Definizione 1.1   Sia $\mathbf{V}$ un $\mathbf{C}$-spazio vettoriale; una forma hermitiana su $\mathbf{H}$ è una applicazione che soddisfa le seguenti condizioni:
$h:\mathbf{H} \times \mathbf{H} \rightarrow \mathbf{C}$
1.
$h(\mathbf{v}+\mathbf{v}',\mathbf{w})=h(\mathbf{v},\mathbf{w})+h(\mathbf{v}',\mathbf{w}), \qquad \forall \mathbf{v},\mathbf{v}',\mathbf{w} \in \mathbf{H}$;
2.
$h(\mathbf{v},\mathbf{w}+\mathbf{w}')=h(\mathbf{v},\mathbf{w})+h(\mathbf{v},\mathbf{w}'), \qquad \forall \mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{w}' \in \mathbf{H}$;
3.
$h(\alpha \, \mathbf{v},\mathbf{w})= \alpha h(\mathbf{v},\mathbf{w}), \qquad \forall \alpha \in \mathbf{C},\qquad \forall \mathbf{v},\mathbf{w} \in \mathbf{H}$;
4.
$h(\mathbf{v},\mathbf{w})=\overline{h(\mathbf{w},\mathbf{v})}, \qquad \forall \mathbf{v},\mathbf{w} \in \mathbf{H}$.

Quindi h è $\mathbf{C}$-lineare sul primo fattore; sul secondo è additiva e inoltre possiamo dedurre dalla sua definizione che: Quindi si possono dare le seguente definizioni:

Definizione 1.2   Una forma hermitiana $\, h: \mathbf{H} \times \mathbf{H} \rightarrow \mathbf{C} \quad $ si dice:
definita positiva se $h(\mathbf{v},\mathbf{v})>0 \quad \forall \mathbf{v} \neq 0 \in \mathbf{H}$  
definita negativa se $h(\mathbf{v},\mathbf{v})<0 \quad \forall \mathbf{v} \neq 0 \in \mathbf{H}$  
semidefinita positiva se $h(\mathbf{v},\mathbf{v}) \geq 0 \quad \forall \mathbf{v} \neq 0 \in \mathbf{H}$  
semidefinita negativa se $h(\mathbf{v},\mathbf{v}) \leq 0 \quad \forall \mathbf{v} \neq 0 \in \mathbf{H}$