Previsione

La previsione o media, attesa, speranza di un numero aleatorio X esprime l'equivalente certo del fenomeno casuale rappresentato da X.
Un modo operativo per definire la previsione è il metodo della scommessa:

Considero X come risultato di una scommessa cioè le perdite o il guadagno.
Definisco il guadagno G = 014(X - 015), 014 003 016, dove 015 = P(X) rappresenta la previsione di X, ovvero quel numero reale che rende il guadagno G mai sicuramente positivo o sicuramente negativo ( Principio di non arbitraggio) e 014 è un coefficiente di proporzionalità.

Da tale definizione discendono le due proprietà della previsione:

  1. Proprietà di monotonia   inf I(X) 001 015 001 sup I(X)
  2. Proprietà di linearità       P(017x + 018y) = 017P(X) + 018P(Y)   017,018 003 016



Nel caso di un evento E, la previsione P(E) si dice probabilità di E. Dalle proprietà di monotonia e linearità, segue che:

  1. la probabilità di un evento è un numero compreso tra 0 ed 1, ovvero 0 001 P(E) 001 1;
  2. 008 E=1 (E0071) => P(E)=1;
  3. 008 E=0 (E0070) => P(E)=0.

La funzione che assegna agli eventi di una partizione le loro probabilità si dice distribuzione di probabilità. Se E dipende logicamente da una partizione di eventi (E1,E2,...,En) possiamo trovare la probabilità di E a partire da quella degli Ei.
P(E) = 019Ei013E P(Ei)
Vediamo ora un metodo operativo per calcolare la previsione.
Sia X un numero aleatorio con I(X)={x1,...,xn} e sia Ei := (X = xi).
    Si ha che:

                                                                        020 

Si noti infatti che XEi è un numero aleatorio che assume il valore xi oppure 0.
L'uguaglianza P(xiEi)=xiP(Ei) è una conseguenza della proprietà di linearità della previsione. 

In generale, se 021:016022016, vale che P(021(x))=s5021(xi)P(X=xi).

Riassumendo:   P(X):= 019xi003I(X) xi P(X=i)




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