Previsione

La previsione o media, attesa, speranza di un numero aleatorio X esprime l'equivalente certo del fenomeno casuale rappresentato da X.
Un modo operativo per definire la previsione è il metodo della scommessa:

Considero X come risultato di una scommessa cioè le perdite o il guadagno.
Definisco il guadagno G = (X - ), , dove = P(X) rappresenta la previsione di X, ovvero quel numero reale che rende il guadagno G mai sicuramente positivo o sicuramente negativo ( Principio di non arbitraggio) e è un coefficiente di proporzionalità.

Da tale definizione discendono le due proprietà della previsione:

1. Proprietà di monotonia   inf I(X) sup I(X)
2. Proprietà di linearità       P(x + y) = P(X) + P(Y)   ,

Nel caso di un evento E, la previsione P(E) si dice probabilità di E. Dalle proprietà di monotonia e linearità, segue che:

1. la probabilità di un evento è un numero compreso tra 0 ed 1, ovvero 0 P(E) 1;
2. E=1 (E1) => P(E)=1;
3. E=0 (E0) => P(E)=0.

La funzione che assegna agli eventi di una partizione le loro probabilità si dice distribuzione di probabilità. Se E dipende logicamente da una partizione di eventi (E₁,E₂,...,E_n) possiamo trovare la probabilità di E a partire da quella degli E_i.
P(E) = _EiE P(E_i)
Vediamo ora un metodo operativo per calcolare la previsione.
Sia X un numero aleatorio con I(X)={x₁,...,x_n} e sia E_i := (X = x_i).
    Si ha che:

Si noti infatti che XE_i è un numero aleatorio che assume il valore x_i oppure 0.
L'uguaglianza P(x_iE_i)=x_iP(E_i) è una conseguenza della proprietà di linearità della previsione. 

In generale, se :, vale che P((x))=(x_i)P(X=x_i).

Riassumendo:   P(X):= xiI(X) xi P(X=i)