Numero aleatorio

Un numero aleatorio X è una quantità ben definita, ma non necessariamente nota, che si determina dopo aver effettuato un esperimento.
Si possono conoscere i valori possibili, cioè i valori che il numero aleatorio può assumere.
I(X) denota l' insieme dei valori possibili del numero aleatorio X.

Esempio   Un numero aleatorio può rappresentare il lancio di un dado I(X) = {1,2,3,4,5,6} o di una moneta I(X) = {T,C} oppure
I(X) = {0,1} indicando "T" (testa) con "0" e "C" (croce) con "1".

Un vettore aleatorio (X1,X2,...,Xn) è un vettore i cui elementi sono dati da numeri aleatori.
L'insieme dei valori possibili I(X1,X2,...,Xn) del vettore aleatorio è dato dalle n-uple che il vettore può assumere.
Due numeri aleatori X e Y si dicono logicamente indipendenti se
I(X,Y)= I(X) I(Y) dove I(X) I(Y) indica il prodotto cartesiano fra l'insieme dei valori possibili I(X) e l'insieme dei valori possibili I(Y).

Esempio 1   Si consideri il lancio di due dadi.Sia X il numero aleatorio che rappresenta la faccia che esce nel primo dado e sia Y il numero aleatorio che rappresenta l'esito del lancio del secondo dado.
Allora I(X,Y) = { (i,j) / 1001i0016, 1001j0016} = I(X) x I(Y).

Esempio 2   Si consideri un'urna con palline numerate da 1 a 10. Si eseguano due estrazioni con reimbussolamento. Sia X il risultato della prima estrazione e Y il risultato della seconda.
L'insieme dei valori possibili è allora
I(X,Y) = { (i,j) / 1001i00110, 1001j00110}.
I(X,Y) = I(X) x I(Y) quindi X e Y sono logicamente indipendenti.

Esempio 3   Si consideri un'urna con palline numerate da 1 a 10. Si eseguano due estrazioni senza reimbussolamento. Siano X e Y i risultati rispettivamente della prima e della seconda estrazione.
L'insieme dei valori possibili è allora
I(X,Y) = { (i,j) / 1001i00110, 1001j00110, i002j}.
I(X,Y)002 I(X) x I(Y) perchè I(X,Y) non contiene le coppie del tipo (i,j), i003{1,...,10}.
I numeri aleatori X e Y non sono logicamente indipendenti.

Con i numeri aleatori si possono eseguire tutte le consuete operazioni aritmetiche e considerare funzioni di essi.
In particolare si può considerare:

  1. X V Y = max(X,Y)
  2. X 004 Y = min(X,Y)
  3. 005 = 1 - X


Evento

Un numero aleatorio X si dice evento se I(X)006{0,1}. In particolare, se X è identicamente uguale ad uno
(X0071 oppure 008X=1), si parla di evento certo; se X è identicamente uguale ad zero
(X0070 oppure 008X=0), si parla di evento nullo.
Gli eventi si indicano in generale con lettere del tipo E,F,...
Nel caso degli eventi si parla di operazioni logiche:

  1. SOMMA LOGICA     E V F = E + F - EF
  2. PRODOTTO LOGICO     E 004 F = EF
  3. COMPLEMENTARE     009 = 1 - E

Consideriamo ora n eventi E1,E2,...,En. Essi si dicono:

  1. incompatibili se 008EiEj=0, 010 i002j
  2. esaustivi se 008 E1+E2+...+En 011 1 (almeno un evento si verifica sempre)
  3. una partizione se 008 E1+E2+...+En = 1 (si verifica sempre solo un evento)

Esempio   Si consideri il lancio di un dado. Sia Ei l'evento che corrisponde all'uscita della i-esima faccia. Allora gli Ei danno una partizione perchè esce sempre una faccia e una sola.

Costituente

Dati n eventi E1,E2,...,En, un costituente di essi è dato da Q=E1*,E2*,...,En* dove 012.
I costituenti di n eventi sono 2n e sono incompatibili due a due. In generale, non tutti i costituenti sono possibili.
I costituenti si possono classificare rispetto ad un dato evento E nel seguente modo:
I tipo   se Q013E;
II tipo   se Q013009;
III tipo   altrimenti.

Infine E si dice
logicamente dipendente da E1,E2,...,En se tutti i costituenti di E1,E2,...,En sono del primo o del secondo tipo;
logicamente indipendente da E1,E2,...,En se tutti i costituenti di E1,E2,...,En sono del terzo tipo;
logicamente semidipendente da E1,E2,...,En altrimenti.

Esempio 1   Supponiamo di effettuare cinque lanci di una moneta. Sia Ei l'evento che corrisponde all'esito "testa" all'i-esimo lancio. Posto Y=E1+E2+E3+E4+E5, considero l'evento E=(Y0113).
E è semidipendente dai primi tre eventi. Infatti
I tipo: E1E2E3013E;
II tipo: 009100920093013009;
III tipo: 0091E20093 non è contenuto né in E né in 009.

Esempio 2   Si consideri un'urna con palline bianche e nere (H palline bianche ed (N-H) palline nere). Si eseguano cinque estrazioni con reimbussolamento. Sia Ei l'evento che corrisponde all'uscita di una pallina bianca all'i-esima estrazione. Sia Y il numero aleatorio che conta le palline bianche ottenute nelle cinque estrazioni:Y=E1+E2+E3+E4+E5.
Considero l'evento E=(Y0113) e gli eventi E1,E2,E3.
E è semidipendente dai primi tre eventi. Infatti
I tipo: E1E2E3013E;
II tipo: 009100920093013009;
III tipo: E10092E3.



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