Distribuzione geometrica

Sia (E_i)_i uno schema di Bernoulli e sia T il numero aleatorio che rappresenta l'istante di primo successo in una serie di prove, ovvero T= inf {n / E_n=1}.L'insieme dei valori possibili per il numero aleatorio T è dato da: I(T)={1,2,...}=-{0}.
L'evento (T=k) si può scrivere in termini degli E_i come:

(T=k)=₁₂..._k-1E_k

Calcoliamo ora la distribuzione di probabilità:
P(T=k)=P(₁₂..._k-1E_k)=P(₁)P(₂)...P(_k-1)P(E_k)=(1-p)^k-1p
Si dice che T ha distribuzione geometrica di parametro p.
Verifichiamo di aver ottenuto una distibuzione di probabilità, cioè che P(T=k)=1. Utilizzando la somma della serie geometrica, otteniamo infatti: P(T=k)=(1-p)^i-1p = p (1-p)^k = p/(1-(1-p)) = 1 Tenendo presente che per la serie geometrica x^k vale
calcoliamo la previsione di T: P(T)=k P(T=k) = k(1-p)^k-1p = p k(1-p)^k-1 = p (1/p²)= 1/p

La distribuzione geometrica gode della proprietà di assenza di memoria, cioè la probabilità di avere un successo dopo m+n prove, se non si è ottenuto successo nelle prime n prove, non dipende dalle prime n prove. Possiamo anche enunciarla così: P( T > m+n / T > n ) = P( T > m )

Infine calcoliamo la varianza della distribuzione geometrica.
Ricordando che (X)=P(X²)-P(X)²,
basta calcolare P(T²)=k²p(1-p)^k-1.
Si ottiene



Quindi

Riassumendo: Distribuzione geometrica Caratteristiche: Schema di Bernoulli e I(T)=-{0}. Distribuzione di probabilità: P(T=k)=(1-p)k-1p Previsione:P(T)=1/p Varianza:(T)= (1-p)/p2