Distribuzione binomiale

Sia (E_i)_i uno schema di Bernoulli e sia X il numero aleatorio che conta il numero di successi avvenuti nelle n prove.
X si può scrivere come P(E_i)=p i , con 0 < p < 1 = il numero di successi su n prove.
L'insieme dei valori possibili di X è quindi I(X)={0,...,n}.
Calcoliamo, attraverso i costituenti, la distribuzione di probabilità di X.
Per k {0,...,n}, si ha che
P(X=k)=P(_QEQ) dove Q è un costituente di I tipo dell'evento EQ.
Tutti i costituenti di I° tipo contengono k eventi che si verificano ed (n-k) eventi che non si verificano.
Ad esempio Q=E₁E₂...E_kk+1..._n.
Si osserva che tutti i costituenti di I° tipo per E hanno la stessa probabilità:
P(Q)=P(E₁E₂...E_kk+1..._n)=P(E₁)P(E₂)...P(E_k)P(_k+1)...P(_n) =
= pp...p(1-p)...(1-p) = p^k(1-p)^n-k.
Ora ci resta solo contare quanti sono tali costituenti: essi sono ,pari al numero di modi di scegliere i k posti degli eventi che si verificano nella sequenza degli n eventi che compongono il costituente stesso. Si ottiene quindi: P(X=k)=_QEP(Q)=_QEpk(1-p)_n-k = p_k(1-p)_n-k
Si dice che X ha distribuzione binomiale (n,p) di parametri n,p.
Verifichiamo di aver ottenuto una distribuzione di probabilità, cioè che P(X=k)=1. Utilizzando le proprietà del binomio di Newton, otteniamo infatti:
P(X=k)=p_k(1-p)_n-k=(p+1-p)ⁿ= 1

Calcoliamo la previsione di X sapendo che X=E₁+E₂+...+E_n:
P(X)=P(E₁+E₂+...+E_n)=P(E_i)= np

Esempio   Si consideri un'urna contenente N palline, di cui H bianche ed N-H nere. Si eseguano delle estrazioni conreimbussolamento. La successione (Ei)i di eventi Ei=(si ottiene una pallina bianca all'i-esima estrazione) è uno schema di Bernoulli, mentre il numero aleatorio che conta il numero di palline bianche ottenute nelle prime n estrazioni ha distribuzione binomiale di parametri (n,H/N).

La varianza della distribuzione binomiale risulta essere:
(E₁+E₂+...+E_n)=(E_i) = np(1-p)

Riassumendo: Distribuzione binomiale Caratteristiche: Schema di Bernoulli e I(X)={0,...,n} Distribuzione di probabilità: P(X=k) = pk(1-p)n-k Previsione:P(X)= np Varianza:(X)= np(1-p)