Distribuzione binomiale

Sia (Ei)i003025 uno schema di Bernoulli e sia X il numero aleatorio che conta il numero di successi avvenuti nelle n prove.
X si può scrivere come P(Ei)=p 010 i 003025, con 0 < p < 1 = il numero di successi su n prove.
L'insieme dei valori possibili di X è quindi I(X)={0,...,n}.
Calcoliamo, attraverso i costituenti, la distribuzione di probabilità di X.
Per 010 k 003 {0,...,n}, si ha che
P(X=k)=P(019Q006EQ) dove Q è un costituente di I tipo dell'evento E013Q.
Tutti i costituenti di I tipo contengono k eventi che si verificano ed (n-k) eventi che non si verificano.
Ad esempio Q=E1E2...Ek009k+1...009n.
Si osserva che tutti i costituenti di I tipo per E hanno la stessa probabilità:
P(Q)=P(E1E2...Ek009k+1...009n)=P(E1)P(E2)...P(Ek)P(009k+1)...P(009n) =
= pp...p(1-p)...(1-p) = pk(1-p)n-k.
Ora ci resta solo contare quanti sono tali costituenti: essi sono 026,pari al numero di modi di scegliere i k posti degli eventi che si verificano nella sequenza degli n eventi che compongono il costituente stesso. Si ottiene quindi: P(X=k)=019Q013EP(Q)=019Q013Epk(1-p)n-k = 026pk(1-p)n-k
Si dice che X ha distribuzione binomiale 027(n,p) di parametri n,p.
Verifichiamo di aver ottenuto una distribuzione di probabilità, cioè che s1P(X=k)=1. Utilizzando le proprietà del binomio di Newton, otteniamo infatti:
s1P(X=k)=s1026pk(1-p)n-k=(p+1-p)n= 1

Calcoliamo la previsione di X sapendo che X=E1+E2+...+En:
P(X)=P(E1+E2+...+En)=s5P(Ei)= np

Esempio   Si consideri un'urna contenente N palline, di cui H bianche ed N-H nere. Si eseguano delle estrazioni conreimbussolamento. La successione (Ei)i003025 di eventi Ei=(si ottiene una pallina bianca all'i-esima estrazione) è uno schema di Bernoulli, mentre il numero aleatorio che conta il numero di palline bianche ottenute nelle prime n estrazioni ha distribuzione binomiale di parametri 027(n,H/N).

La varianza della distribuzione binomiale risulta essere:
023(E1+E2+...+En)=s2023(Ei) = np(1-p)

Riassumendo:

Distribuzione binomiale

Caratteristiche: Schema di Bernoulli e I(X)={0,...,n}
Distribuzione di probabilità: P(X=k) = 026pk(1-p)n-k
Previsione:P(X)= np
Varianza:023(X)= np(1-p)




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