CORSO
DI LAUREA IN MATEMATICA
Corso di Algebra
Prof.ssa M. Idà
2° appello autunnale – 9.
10. 1999
Nell’anello Z 3[x] dei polinomi a coefficienti nel campo Z 3 si considerino gli elementi f = x4 + 2x3 + 2x + 1 e g = x3 + 2x2 + 2x + 1.
a) Verificare che d = x2 + x + 1 è un massimo comun divisore di f e g, e mostrare che l’anello quoziente Z 3[x]/ (d) non è un campo.
b) Trovare, se esiste, in Z 3[x]/ (d) un elemento nilpotente non nullo.
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1° appello estivo – 13. 06.
2000
ESERCIZIO 1:
Nell’anello Z[i] consideriamo:
E’ I un ideale di Z[i]? Se sì, se ne determinino dei generatori.
ESERCIZIO 2:
Si fattorizzi, sia in R che in C, il polinomio x4 – 8x.
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2° appello estivo – 10. 07.
2000
ESERCIZIO 1:
Dati i polinomi f = x2 – x – 2 e g = x3 + 2x2 – 4x – 5,
a) Calcolare, in Q[x], un massimo comun divisore d di f e di g e trovare due polinomi s, t per cui fs + gt = d.
b) Esistono divisori dello zero non nulli nell’anello quoziente Q[x]/ (f) ?
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ESERCIZIO 2:
a) Qual è la caratteristica di A?
b) Mostrare che
è un sottoanello di A.
c) E’ vero che S e A stesso sono gli unici sottoanelli di A?
Appello straordinario del
22. 12. 2000
a) Si dica se il polinomio f = x3 + 5x2 +8x + 4 ha una radice multipla in Q.
b) Esiste un isomorfismo di anelli:
