SOLUZIONE
a) f = x4 + 2x3 + 2x + 1 e g = x3 + 2x2 + 2x + 1.
f = x4 + 2x3 + 2x + 1 = x(x3
+ 2x2 + 2x + 1) + (-2x2 + x +
1) = x * g + r.
Poichè siamo in Z 3[x], il polinomio r = x2 + x + 1.
Dividendo successivamente f per r otteniamo:
f = (x + 1) * r + 0, quindi r è l'ultimo resto
diverso da zero.
Di conseguenza r non è altro che il massimo comun divisore tra f e g e quindi d = x2 + x + 1.
L’anello quoziente Z 3[x]/ (d) è un campo se e solo se (d) è un ideale massimale e questo si verifica
se e solo se d è un polinomio irriducibile in Z 3[x].
Ma, in Z 3[x], d ha una radice multipla che è data da p = 1; infatti d(1) = 3 = 0.
Allora d è riducibile e Z 3[x]/ (d) non può essere un campo.
b) Un elemento nilpotente è un elemento [a] di Z 3[x]/ (d) tale che an = 0, dove n è un intero positivo.
d = x2 + x + 1 = (x –
1)(x + 2). Poiché stiamo trattando con i
polinomi a coefficienti in Z 3,
sappiamo che x – 1 = x + 2 e quindi d = (x + 2)2.
Scegliendo così [x + 2] come elemento di Z 3[x]/ (d) vediamo che esso è nilpotente perché:
[x + 2]2 = [x2 + 4x + 4] = (ricordiamo che siamo in Z 3) [x2 + x + 1] = [0].
c) Gli elementi di Z 3[x]/(d) sono in corrispondenza biunivoca con i polinomi di primo grado a coefficienti in Z 3, ossia ogni classe ha un unico rappresentante della forma ax + b dove a,b appartengono a Z 3.
I due anelli, tuttavia, non sono isomorfi, dato che Z
3[x]/(d) ha elementi nilpotenti (dal punto (b)), mentre si
verifica facilmente che 
non ne ha.
Notare che l'applicazione:
è una biezione, ma non è un isomorfismo (non rispetta il prodotto).