Successioni e sottosuccessioni

 

    

    Una successione reale è, intuitivamente, una sequenza infinita  {a1 a2 ..., an,,...}  di numeri reali,  ordinata dai numeri naturali: al primo posto si associa un numero reale, al secondo se ne associa un altro (non necessariamente diverso), e così via indefinitamente.

    

    Ad esempio, costruiamo la successione seguente:

 1 → 2 = a1

 2 → 4 = a2

  3 → 6 =  a3

 4 → 8 = a4

 ………
   n → 2n =
an

………


    Si intuisce da questo esempio il significato della definizione di successione, che può essere descritta come una funzione: ad ogni numero naturale si associa esattamente un numero reale. Nell’esempio mostrato, ad ogni numero naturale si associa il doppio di tale numero.

 

 


DEFINIZIONE (1.1)    Una  successione  di numeri reali è una funzione   f : N R ,  con .  Il numero reale an si dice termine n-esimo della successione.

Una successione viene indicata in questo modo:     .

 


    Naturalmente, il codominio della funzione  può essere un qualunque sottoinsieme di R: i termini di una successione possono anche appartenere ad un insieme finito, come si può vedere negli esempi seguenti.

 

 

ESEMPI (1.1)

 

 

    Osserviamo, inoltre, che la definizione può essere estesa con facilità a qualunque insieme, anche diverso dal sistema dei numeri reali, possiamo cioè considerare successioni razionali, intere, oppure successioni di funzioni, poiché la definizione non richiede nessuna delle proprietà di  R .

 

    Consideriamo ora una successione reale qualunque :


    Prendiamo soltanto i termini della successione di indice pari, ossia i termini del tipo :

……

    Indicando con g : N N , la funzione che ad un numero naturale associa il doppio del numero stesso, possiamo costruire una nuova successione nel modo seguente:


  

……………

    Abbiamo ottenuto in questo modo la nuova successione , con h : N R , ,cioè  possiamo “estrarre” da una successione  un’infinità numerabile di termini mediante una qualunque funzione g : N N , , ottenendo così una nuova successione .


    Abbiamo così giustificato l’introduzione della seguente definizione di sottosuccessione.

 


DEFINIZIONE (1.2)  Sia  una successione di numeri reali. Una sottosuccessione  di , o "successione estratta da " è una successione , ove  g : N N è una funzione strettamente crescente, ossia , .

 


 

    Nella definizione è richiesto che  g sia una funzione crescente, in modo da rendere possibile l’estrazione ordinata dei termini dalla successione originaria.

 

 

ESEMPI (1.2)