Una
successione reale è, intuitivamente, una sequenza infinita
{a1, a2 ..., an,,...} di numeri
reali, ordinata dai numeri naturali: al primo posto si
associa un numero reale, al secondo se ne associa un altro (non
necessariamente diverso), e così via indefinitamente.
Ad esempio, costruiamo la successione seguente:
1 → 2 = a1
2 → 4 = a2
3 → 6 = a3
4 → 8 = a4
………
n → 2n = an
………
Si
intuisce da questo esempio il significato della definizione di
successione,
che può essere descritta come una funzione: ad ogni numero
naturale si associa esattamente un
numero reale. Nell’esempio mostrato, ad ogni numero naturale si
associa il
doppio di tale numero.
DEFINIZIONE
(1.1)
Una
successione
di numeri reali è una funzione f : N → R
, con 
.
Il
numero reale an si dice
termine n-esimo della
successione.
Una
successione viene indicata in questo modo:
.
Naturalmente,
il codominio della funzione 
può
essere un
qualunque sottoinsieme di
R: i termini di
una
successione possono anche appartenere ad
un insieme
finito, come si può vedere negli esempi seguenti.
Osserviamo,
inoltre, che la definizione può essere estesa con
facilità a qualunque insieme,
anche diverso dal sistema dei numeri reali, possiamo cioè
considerare successioni razionali, intere, oppure successioni di
funzioni, poiché la definizione non richiede
nessuna delle
proprietà di R .
Consideriamo
ora una successione reale qualunque 
:
…
Prendiamo
soltanto i termini della successione di indice pari, ossia i termini
del tipo 
:
……
Indicando
con g :
N → N , 
,
la funzione che ad un numero
naturale associa il doppio del numero stesso, possiamo costruire una
nuova
successione nel modo seguente:
……………
Abbiamo
ottenuto in questo modo la nuova successione ,
con h :
N → R
, 
,cioè
possiamo “estrarre” da una successione un’infinità numerabile di
termini mediante una
qualunque funzione g :
N → N , 
,
ottenendo così una nuova
successione 
.
Abbiamo così
giustificato
l’introduzione della seguente definizione di sottosuccessione.
DEFINIZIONE
(1.2) Sia una successione
di numeri reali. Una sottosuccessione di
, o "successione estratta
da " è una
successione , ove g :
N → N, è
una funzione
strettamente
crescente, ossia 
,
.
Nella definizione è richiesto che g sia una funzione crescente, in modo da rendere possibile l’estrazione ordinata dei termini dalla successione originaria.
