I numeri Razionali,  Q


 

    Per rendere sempre possibile (o quasi) l’operazione di divisione introduciamo un altro ampliamento dell'insieme dei numeri, e cioè  l’insieme dei numeri razionali (dal  latino ratio = rapporto).  Esso viene indicato con il simbolo  Q  (iniziale di quoziente); intuitivamente gli elementi di Q sono le frazioni:

          Q = { ..., -3/4,..., -2,..., -1,..., -1/3,.., 0,...,1/2,...2/3,...1,...,3/2,...,2,...,15/7,...}


    Vediamo (piuttosto sommariamente)  come  si può costruire l'insieme dei razionali.

    Consideriamo le coppie di interi con il secondo elemento diverso da 0; ad esempio coppie del tipo (1, -3) , (5,4) ….. , escludendo cioè le coppie del tipo (1, 0) , (5,0) , (-25, 0).   Se  indichiamo con  Z*  =  Z \ {0},  stiamo considerando l'insieme  Z Z*.

    Adesso eseguiamo una partizione in   Z Z*, raggruppando in una stessa classe gli elementi  (a, b)  e (c,d)   ogni volta che  ad = bc;  ad esempio saranno nella stessa classe gli elementi (3, 2) e (6, 4)  perché   3 4 = 26;  possiamo individuare un’altra classe prendendo gli elementi  (-3, -2)  e  (15, 10)   perché   -3 10 = -2 15,  in quest’ultima classe troviamo ad esempio anche l’elemento  (21, 14). 
    Le classi definite in questa maniera formano una partizione di Z Z*. Possiamo visualizzare tale partizione nel piano cartesiano, notando che le classi sono individuate  tramite delle rette passanti per l’ origine:

 

    Chiamiamo  Q  l’ insieme quoziente di questa partizione, e quindi consideriamo come "nuovi numeri" le classi della partizione sopra considerata.   Tali elementi saranno i nostri numeri razionali.

    Useremo il simbolo  a/b  per indicare la classe della coppia  (a, b).   Ad esempio se prendiamo gli elementi  (-3, 3)  ed  (-1, 1) , essi appartengono alla stessa classe e quindi avremo che   –3/3 = -1/1 ; lo stesso accade per  (3, 2)  e  (6, 4)  che appartengono ad una stessa classe e quindi   3/2 = 6/4   (ma diversa dalla classe precedente).

   Poiché esistono più modi per indicare uno stesso elemento razionale, in generale si preferisce usare la notazione  a/b ove a e b siano primi tra loro (cioè a e b non hanno fattori in comune) e  b > 0.  In questo caso si dice che la frazione è ridotta ai minimi termini .

    Ad esempio 3/2 oppure 1/2, o ancora 1/3 sono frazioni ridotte ai minimi termini mentre 2/4  ,  3/-9  e  2/-5  sono frazioni non ridotte ai minimi termini.  Per trasformarle in frazioni ridotte ai minimi termini dobbiamo scriverle come:   1/2  ,  -1/3  e  -2/5.


Le operazioni in Q:  somma e prodotto.

    Una volta definito Q come insieme, dobbiamo definire le operazioni in esso; l'addizione e la moltiplicazione le definiamo nel modo seguente:

1)      Se  a/b , c/d Q :  (a/b) + (c/d) = (ad +bc)/bd ;

2)       Se a/b , c/d Q :  (a/b) (c/d) = ac/bd ;

    Notiamo che le operazioni sono ben definite cioè che se invece di  a/b  utilizziamo un’altra espressione per rappresentare la stessa classe (ad esempio 3a/3b ), il risultato delle operazioni è sempre lo stesso, infatti:

(3ad + 3bc)/3bd = (ad +bc)/bd ;

(3ac)/(3bd) = ac/bd;

    Esempi

    3/9 + 16/12 = 4/12 + 16/12 = 20/12  ;   3/7 + (-1/3) = [9+(-7)]/21 = 2/21 ;  4/1 + 0/211 = (844+0)/211 = 4/1 ;

 

    3/5 7/9 = 21/45 = 7/15 ;    12/12 3/8 = 36/96 = 3/8 ;   -2/9 12/5 = -24/45 = -8/15 ;  -4/3 -1/3 = 4/9;

 

Inoltre si ha, da quanto definito sopra:

       3)  Se  a/b Q:   a/b +  0/1 = a/b 

  4)      Se  a/b Q:    a/b 1/1 = a/b .

 

    Quindi l’elemento  0/1  rappresenta l’elemento neutro rispetto alla somma mentre 1/1 rappresenta l’elemento neutro rispetto al prodotto. 

    In generale, se  a N,  scriveremo  a  invece di  a/1,  e quindi denoteremo con  0  ed  1  gli elementi neutri rispetto alla somma ed al prodotto anche in Q, come in  N ed in  Z.


  Notiamo che l'operazione di sottrazione, definita come inverso della somma, si può sempre eseguire in Q , in quanto ogni a/b ha un opposto rispetto alla somma, e cioè  -a/b, infatti:
a/b + (-a/b) = (ab-ab)/b2 = 0/b2 = 0/1 = 0 .

    La formula generale per la sottrazione,  in  Q, sarà analoga a quella della somma:

    5)      Se  a/b , c/d Q :  (a/b) - (c/d) = (ad - bc)/bd .

Le operazioni in Q:  la divisione.


    Verifichiamo adesso come sono cambiate le cose,  in  Q , rispetto alla divisione, perché qui abbiamo adesso una nuova proprietà:


Esistenza dell'inverso rispetto al prodotto:  Per ogni  r Q,  se r  è diverso da  0,  esiste un numero  s Q  tale che:   

r s = s r = 1 .

    Infatti  se  r = a/b,  con  a  diverso da  0, basta porre  s = b/a , ed avremo   a/b b/a  =  ab/ab  = 1/1 = 1 . 
   
   
    Poichè anche in Q definiamo la divisione come l'operazione inversa del prodotto, avremo allora  che per fare  a/b : c/d  (cioè per ottenere un numero r che moltiplicato per c/d dia a/b) basterà moltiplicare  a/b per l'inverso di c/d , cioè fare  r = a/b d/c, infatti si ha:

r c/d = (a/b d/c) c/d =  a/b (d/c c/d) =   a/b 1 =  a/b .

    Naturalmente in tutto questo deve essere  c/d diverso da  0, cioè  c  diverso da  0  (ricordiamo che b e d non sono 0 per definizione).

   Continua                                                                   Home Page