I NUMERI NATURALI



    I primi insiemi che si incontrano in matematica sono quelli dei numeri;  daremo qui una breve descrizione dei principali insiemi numerici, delle loro operazioni e delle loro proprietà.



I numeri Naturali,  N 


    Il primo insieme che  prenderemo in esame è  l’ insieme dei numeri naturali. Esso si indica con la lettera N  e i suoi elementi sono i numeri interi positivi, i primi numeri,  storicamente, ad essere stati usati dall'umanità:

 

  
                                             N = { 1 , 2 , 3 , 4 . . . . .}

 

 

 Naturalmente gli elementi di N :   1 , 2 , 3 , 4 . . .   sono infiniti.

 

In molti testi nei numeri naturali viene considerato anche lo 0, talvolta con la notazione:

 

N0 = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5…….}

 

In generale si preferisce indicare l’insieme dei naturali con N escludendo lo 0.

 

    Ricordiamo che un‘operazione in un insieme  A  viene definita in generale come una legge che associa ad ogni coppia  (a,b), ove  a e b A, un terzo numero c A ;  cioè un'operazione in  A è una funzione da  AxA  in  A.



Le 4 operazioni.  Somma e prodotto.

    Nell'insieme N  consideriamo in genere le 4 operazioni (somma, prodotto, sottrazione e divisione), ma solo le prime due sono operazioni nel senso definito sopra.


    Le operazioni elementari che risultano ben definite nell’ insieme dei numeri naturali sono l’operazione di addizione  (o somma) e quella di moltiplicazione (o prodotto).

a+b=c

 

ab =f

 

Considereremo l’ operazione di addizione come nota; la moltiplicazione viene definita come una addizione ripetuta:  eseguire il prodotto di a e b N  significa fare:

ab =  a +  a  +  a  + ... + a   (b  volte) =   b +  b  + ...  + b   (a  volte).


L’ operazione di addizione gode delle seguenti proprietà:

 

1)      proprietà commutativa della somma:  Per qualsiasi  a,b N:

a+b=b+a .

 

      2) proprietà associativa della somma:   Per qualsiasi  a,b,c N:

(a+b)+c=(c+a)+b .

 

3)      esistenza dell’ elemento neutro per la somma; l'elementro neutro per l'addizione è lo 0, infatti per esso vale: 


                Per qualsiasi  a N:                                               a + 0 = a .

 

 

 

L’ operazione di moltiplicazione gode di proprietà analoghe:

 

 

    4)      proprietà commutativa del prodotto:  Per qualsiasi  a,b N:

a.b=b.a .

 

          5) proprietà associativa del prodotto:   Per qualsiasi  a,b,c N:

(a.b).c=(c.a).b .

 

    6)      esistenza dell’ elemento neutro; l'elementro neutro per l'addizione è il numero 1, infatti per esso vale: 


                Per qualsiasi  a N:                                               a . 1 = a .

 

 

 

In oltre abbiamo la seguente proprietà che lega somma e prodotto:


7)      proprietà  distributiva del prodotto rispetto alla somma:

 

(a+b)c = ac + bc

 


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Terminologia: 

 

    Si dice che l‘ insieme N è chiuso rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione per indicare che queste sono effettivamente operazioni su N, cioè sempre eseguibili per qualsiasi  a,b N . Se abbiamo

 
a+b=c   

 

allora  gli elementi generici a e b vengono detti addendi mentre c prende il nome di somma.


    Invece nella moltiplicazione    a+b=d ,  a e b  vengono detti fattori ed il risultato d  è detto  prodotto.




Le 4 operazioni.  Sottrazione e divisione.

 

    Le operazioni di sottrazione e di divisione nell’ insieme dei numeri naturali non sono sempre possibili.  Esse non sono vere e proprie operazioni su  N, cioè non sono funzioni definite da   N x N   in  N.


Vediamo come si definisce (quando esiste) la sottrazione di due numeri naturali; si tratta dell'operazione inversa della somma:


Definizione:  Dati due numeri naturali  n, m N ,  si dice  n - m quel numero naturale  x, se esiste, che sommato ad  m dia n. Cioè : 

  n - m = x   se e solo se   n = m + x .



Si vede facilmente  che n deve essere più grande di m per poter fare l’operazione di sottrazione (cioè perché  x esista). 


 

In modo analogo alla sottrazione si definisce la divisione:



Definizione:  Dati due numeri naturali  n, m N ,  si dice  n : m quel numero naturale x, se esiste ed è unico, che moltiplicato per  m dia n.  Cioè :   

n : m = x  se   n = m. x


   
    Anche per la divisione è  immediato constatare che  x non esiste sempre, ma se e solo se  n è  un multiplo di m  (cioè se  esiste  k N , tale che  n = km), quindi l'operazione di divisione è eseguibile solo sulle coppie  n,m N   tali che  n = km .


     Inoltre si e si può notare che non si potrà mai dividere per 0, infatti per avere  ad esempio  8 : 0 = x  si dovrebbe avere    8 = 0.x,
il che è falso qualunque sia x .  Non si può neanche fare  0 : 0  in quanto tale operazione risulterebbe indeterminata, poichè per ogni naturale x si ha:  0 = 0.x  (cioè  x non sarebbe unico), mentre nella definizione si chiede che x esista e sia unico.


L'elevazione a potenza.

Procedendo  in modo analogo a come abbiamo definito la moltiplicazione a partire dalla somma, si può definire su N, ma ad esclusione dello 0, l'operazione di elevazione a potenza :
    Per qualsiasi  n,m N: con   n, m  diversi da 0,   si pone   nm = n . n ... n  (m volte) .

    Questa volta però non abbiamo proprietà analoghe alle precedenti (per esempio questa operazione non è né associativa né commutativa, ad esempio:  32 e  23 sono diversi) .

Proprietà notevoli della elevazione a potenza sono:

p1)  Per qualsiasi  n,m N :       (n.m)t = nt.mt
p2)  Per qualsiasi  n,m N:        n(m+t) = nm.nt
p3)  Per qualsiasi  n,m N :       n(m.t) = (nm)t

Esempi:     511 = 5(4+7) =  54 57  ;   3(2.2) = (32)2 = 92 = 81.

    Inoltre, come abbiamo detto,  nm   è a questo modo definito solo se m non è 0  (cosa vorrebbe dire moltiplicare n per se stesso "0 volte"?).  Potremo però ampliare un po' questa definizione, estendendola anche al caso m = 0 , purché sia n diverso da 0, come vedremo fra breve.


Considderiamo ora come si comportano le potenze rispetto alle operazioni "parziali" di sottrazione e divisione; esse danno luogo a proprietà delle potenze analoghe alle p1) e p2):

p4)  Per qualsiasi   n,m N :       (n : m)t  = nt : mt
p5)  Per qualsiasi  n,m N:         n(m - t) = nm :  nt

    La proprietà p5) ci pone un piccolo problema:  m-t  ha senso anche quando  m= t , ma in questo caso avrei:
n(m - t) =   n0 =   nm :  nt = nm :  nm = 1
  mentre  avevamo detto che  n0 non era definito.  Quello che possiamo fare allora è di estendere la definizione precedente di elevazione a potenza, in modo da conservare vere le proprietà p1) - p5) anche in questo caso,  ponendo :
Per qualsiasi  n N,  se  n  non è 0,    si ha :     n0 = 1

    Notiamo che non ha senso cercare di "interpretare" questa definizione come "moltiplicare n per se stesso 0 volte mi dà 1";  il definire  n0 = 1 è un artificio che poniamo per avere l'elevazione a potenza anche in questo caso, conservando tutte le "buone proprietà" delle potenze. 
   
    Sottolineiamo che resta invece privo di senso elevare 0 alla 0: il simbolo 00  non rappresenta nessun numero (intuitivamente: abbiamo che ogni numero elevato alla 0 dà 1, mentre 0 elevato ad una  qualsiasi potenza dà 0; comunque definissimo 00 contravverremmo almeno una di queste proprietà).


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