I numeri Interi, Z
Il secondo insieme che prenderemo in esame è quello dei
numeri interi. Esso si indica con la lettera Z (dal tedesco Zahl = numero) e i suoi elementi sono i numeri naturali, più i numeri negativi (interi):
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Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1 , 2 , 3 , 4 .
. . . .} |
Possiamo pensare a
Z
come ottenuto da N "aggiungendo" ad esso una "nuova
copia" dei numeri 1,2,3,... che però si
distingue da quella precedente per quel segno "-" posto in fronte
ad essi; possiamo pensarli come numeri "rossi" se ci immaginiamo un
conto in banca: infatti il primo uso dei numeri negativi è
quello di rappresentare dei debiti (già in papiri egizi si
trovano numeri che hanno questo significato).
Come si definiscono le operazioni in Z ?
La somma
Dobbiamo definire come sommare due elementi a,b 
Z; se a,b N non ci sono problemi, eseguiamo la somma come facciamo in N; altrimenti procediamo così:
- se a N , b= -n , n N, e a > n ,
: a+b = a - n (l'operazione a - n è definita in N) ;
- se a N , b= -n , n N, e n > a allora definiamo: a+b = - (n - a) (l'operazione n - a è definita in N) ;
- se a N , b= -n , n N, e n = a allora definiamo: a+b = 0 ;
- se a = 0, b= -n , n N, allora definiamo: 0+b = b + 0 = b;
- se a = -m e b= -n , n,m N, allora definiamo: a+b = - (m + n ) (l'operazione m + n è definita in N).
Ad esempio: 3 + (-5) = - (5
- 3) = -2 ; -4 + (-3) = -(4+3) = -7 ; 0 + (-3)
= -3 ; 5 + (-3) = 5 - 3 = 2.
L'idea intuitiva, pensando a quantità di denaro, è che sommare un numero negativo significa "aquisire un debito" e quindi equivale a sottrarre il corrispondente numero positivo.
In Z la somma ha una nuova proprietà :
Esistenza dell'inverso: Per ogni a Z , esiste un numero a' Z , tale che a+a' = a+a' = 0 .
Infatti se a 
N, basta prendere a' = -a , mentre se a = -n, n N prenderemo a' = n (se invece a = 0, anche a' = 0).
Poiché questa notazione è immediata per i numeri positivi, indicheremo l'inverso di un numero a Z , con -a , ad esempio: -(-4)= 4 .
Il Prodotto
Dobbiamo definire come moltiplicare due elementi a,b Z; se a,b N non ci sono problemi, eseguiamo il prodotto come facciamo in N; altrimenti procediamo così:
- se a N , b= -n , n N, allora definiamo: a
b = - (a n) ( l'operazione a n è definita in N) ;
- se a = -m e b= -n , n,m N, allora definiamo: ab = n m (l'operazione n m è definita in N).
Ad esempio: 3 (-5) = - (35) = -15 ; -4 (-3) = -(43) = -12 ; 0 (-3)
= -(03)=0 .
Le regole di moltiplicazione ora esposte sono quelle che comunemente si riassumono nelle formuletta:
Più per più fa più, più per meno fa meno e
meno per meno fa più.
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La Sottrazione.
Questa
è l'operazione per la quale abbiamo un cambiamento sostanziale:
in un certo senso si può dire che abbiamo introdotto i numeri
negativi proprio per rendere la sottrazione sempre possibile; in Z
si ha infatti che la sottrazione diviene un'operazione vera e propria.
Vediamolo, ricordiamo che si tratta dell'operazione inversa della somma:
Definizione: Dati due numeri interi a, b Z , si dice a - b quel numero intero x, che sommato a b dia a. Cioè :
a - b = x se e solo se a = b + x .
Vediamo che questa operazione è stavolta definita su tutto Z . Come abbiamo notato, in Z esiste l'inverso rispetto alla somma; allora , se denotiamo di nuovo con il simbolo b' l'inverso di b, avremo:
se b = n N, allora b' = - n,
se b = - n, allora b' = n ,
se b = 0, anche b' = 0 .
Si ha allora che a - b = a + b' , cioè che x = a + b' è l'elemento richiesto, infatti :
x + b = (a + b') + b = a + b + b' = a + 0 = a .
Quindi, in Z , x - y esiste sempre, ed è uguale a x + y' , cioè "sottrarre è uguale a sommare l'opposto"; ad esempio:
4 - (-5) = 4 +
5 = 9 ; -3 - 7 = -3 + (-7)
= -10 ; -2 - (-2) =
-2 + 2 = 0 .
Il segno " - " .
E' importante notare che il segno "-" , per come lo abbiamo usato in Z , viene a compendiare ben tre signicati diversi!
Infatti usiamo il segno meno per indicare i
numeri negativi , come -5 , -4, -3 ... e cioè
quei "nuovi numeri" che con il passare a considerare Z ,
abbiamo aggiunto ai naturali. In questa accezione il segno
"-" non è usato per indicare un' operazione, ma solo una specie
di "segnaposto", per caratterizzare i nuovi numeri .
Poi "-" è usato come simbolo
dell'operazione di sottrazione, e questa è la prima accezione in
cui lo abbiamo incontrato, già in N , ed infine il segno meno si usa per indicare "l'opposto di " :
- (-7) = " l'opposto di -7 " = 7 ;
in quel "- (-7)" , il primo ed il secondo simbolo "meno"
hanno due significati diversi: il primo sta per "l'opposto di", mentre
il secondo è quello che abbiamo già notato, il
"segnaposto" dei numeri negativi.
Queste
diverse funzioni logiche del segno "meno" sono spesso passate sotto
silenzio nell'introduzione scolastica dei numeri relativi; anche se
potrebbe generare confusione nei ragazzi al loro primo incontro con i
numeri negativi soffermarsi su aspetti così formali come quelli
visti adesso, è importante che l'insegnante abbia chiaro "cosa
c'è sotto" logicamente, in quanto le difficoltà che i
ragazzi hanno nell'imparare ad usare (e ad "accettare", prima di tutto)
i numeri negativi viene anche dalla vera e propria complessità
di questo concetto, che non è poi così "naturale" come
talvolta si tende a cercare di far loro credere.
La Divisione.
Per questa operazione, le cose non cambiano molto: come non la potevamo eseguire sempre in N, così non possiamo in Z.
Notiamo soltanto che, quando si può effettuare la divisione,
essa si esegue con regole fra i segni analoghe a quelle del prodotto.
Dobbiamo definire come dividere (se possibile) due elementi a,b Z: se a,b N non ci sono problemi, eseguiamo la divisione come facciamo in N (se possibile); altrimenti procediamo così:
- se a N , b= -n , n N,
allora definiamo: a : b = - (a : n) ( quando l'operazione a : n è definita in N) ;
- se a = -m e b= -n , n,m N, allora definiamo: a : b = n : m (quando l'operazione n : m è definita in N).
Ad esempio:
12 : (-3) = -(12 : 3) = -4 ; (-15) : 5 = - (15 : 5) =
-3 ; (-28) : (-7) = 28 : 7 = 4 .
Continua
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