Definizione 2.1 Una applicazione f: X ® Y di spazi topologici è detta omeomorfismo se è biunivoca e bicontinua (cioè sia f sia f ^-1 sono continue).
Se esiste un omeomorfismo tra X e Y diciamo che X è omeomorfo ad Y e scriviamo X » Y

Osservazione 2.2 Sia f: X ® Y una applicazione di spazi topologici biunivoca e continua. Allora:

1. f è omeomorfismo Û f è aperta;
2. f è omeomorfismo Û f è chiusa.

Dimostrazione

Osservazione 2.3 Siano X, Y, Z spazi topologici.

X » X;
X » Y Þ Y » X
X » Y, Y » Z Þ X » Z

 

Proposizione 2.4 Sia X uno spazio topologico, Omeo (X) = {f: X ® Y | f è omeomorfismo} con l’operazione di composizione è un gruppo.

Dimostrazione

Definizione 2.5 Una proprietà P tale che "se uno spazio topologico X ha P, allora ogni spazio topologico omeomorfo ad X ha P" è detta proprietà topologica

Osservazione 2.6 Ogni proprietà che si definisce solo in termini di aperti è una proprietà topologica; questo perché un omeomorfismo f: X ® Y induce una applicazione biettiva , ove , " A Î t_X

Proposizione 2.7 Dotiamo X di due topologie t₁ e t₂ e chiamiamo gli spazi topologici corrispondenti Xt₁ e Xt₂.
La topologia t₁ è più fine della topologia t₂ se e solo se l’applicazione id : Xt₁ ® Xt₂ è continua.
In particolare le due topologie coincidono se e solo se id : Xt₁ ® Xt₂ è un omeomorfismo.

Dimostrazione

Esempi

Esercizi