Esempi sugli Omeomorfismi e le Proprietà topologiche
Esempio
1
Sia f: (R, e) ® (R,
e) l'applicazione ove f(x)
= x3, f è biunivoca,
continua e di inversa continua, quindi è un omeomorfismo.
Esempio
2
Consideriamo (Rn, e). L'insieme
degli isomorfismi di Rn,
GLn(R), e delle trasformazioni ortogonali in Rn, O(n),
sono sottogruppi di Omeo(Rn);
infatti le applicazioni f: Rn
® Rn appartenenti a tali insiemi sono
tutte della forma
f(x1, …, xn) = (a1,1x1 + … + a1,nxn b1, …, an,1x1 + … + an,nxnbn)
e l'inversa sarà dello stesso
tipo.
Esempio 3
Vediamo un esempio di funzione
continua e biunivoca, ma non omeomorfismo:
sia X un insieme non vuoto, sia t1 la
topologia discreta su X e t2
la topologia banale su X; consideriamo l'applicazione id: (X, t1) ® (X, t2), notiamo
che id -1 non è continua.
In generale id è omeomorfismo se t1
= t2.
Esempio 4
Sia S1 la
circonferenza di centro (0,0) e raggio 1 con la topologia indotta dalla
topologia euclidea di R2. Si ha che S1
\ {(1,0)} » R.
Esempio 5
Soddisfare il I e II assioma di numerabilità è un
esempio di proprietà topologica.
Esempio 6
La connessione è una proprietà topologica. (Si veda il prossimo capitolo).