Definizione 1.1 Siano (X, t_X) e (Y, t_Y) due spazi topologici. Una applicazione
f: X ® Y è detta continua se per ogni aperto A di Y, f ^–1 (A) è aperto in X.

Osservazione 1.2 Si potrebbe definire un’applicazione continua anche tramite delle basi di aperti. Cioè:
sia B una base di aperti per t _Y, allora f: X ® Y è continua se e solo se per ogni aperto A Î B l’insieme f ^–1 (A) è aperto in X.

Proposizione 1.3 Sia f : X ® Y un’applicazione di spazi topologici; sono equivalenti:

1. f è continua;
2. " C chiuso di Y, f ^–1 (C) è chiuso in X;
3. " x Î X vale la proprietà seguente:
   " " intorno V di f (x) $ un intorno U di x tale che f (U) Í V" (continuità nel punto x);
4. " x Î X, comunque si prendano B (x) e B’ (f(x)) sistemi fondamentali di intorni rispettivamente di x e di f(x), vale la proprietà seguente:
   "" V Î B’ (f(x)) $ U Î B (x) tale che f (U) Í V"

Dimostrazione

Proposizione 1.4 Sia f: X ® Y continua e g: Y ® Z continua, allora gf è continua.

Dimostrazione

Definizione 1.5 Sia f: X ® Y una applicazione continua di spazi topologici; gli insiemi f ^–1 (y), con y Î Y, sono dette fibre di f.

Osservazione 1.6 Se il punto y è chiuso, la fibra f ^–1 (y) è chiusa in X.

Definizione 1.7 Una applicazione di spazi topologici f: X ® Y è detta:

aperta se " A aperto di X, f (A) è aperto di Y;

  chiusa se " C chiuso di X, f (C) è chiuso di Y.

Osservazione 1.8 Sia f: X ® Y aperta e g: Y ® Z aperta, allora gf è aperta;
Sia f: X ® Y chiusa e g: Y ® Z chiusa, allora gf è chiusa.

Proposizione 1.9 Se f : X ® Y è un’applicazione continua tra i due spazi topologici X e Y, essa rimane continua anche se si sostituisce la topologia di X con una più fine e quella di Y con una meno fine.

Dimostrazione

Esempi

Esercizi