Esempi sulle funzioni continue

 

 

Esempio 1

 

id: (X, t) (X, t) continua.

 

In generale non vero che id : (X, t) (X, t') sia continua se t t'.

Anzi si pu dire che continua se e solo se t' < t.

 

 

 

Esempio 2

 

Siano X e Y spazi topologici e sia f: X Y un'applicazione costante (cio f(X) = a Y) continua.

 

 

 

Esempio 3

 

Ogni applicazione di uno spazio discreto X in uno spazio qualsiasi Y continua;

ogni applicazione di uno spazio qualsiasi X in uno spazio banale Y continua.

 

 

 

Esempio 4

 

Consideriamo R n e R con la topologia euclidea. Una funzione polinomiale f : R n R tale che f(x1, , xn) = a1x+ +anxn continua. Vediamo un caso particolare:

f :R3 R tale che f(x, y, z) = 2xy2 - z3 + xz4 un'applicazione continua.

 

In particolare sono continue le proiezioni pi : R n R tali che pi(x1, , xn) = xi.

 

Osserviamo che unapplicazione f: R3 Rm continua se e solo se le sue componenti fj : R3 R con j=1,,m, sono continue.

 

 

 

Esempio 5

 

Consideriamo il sistema:

non sappiamo se ha soluzioni, ma siamo certi che l'insieme C delle sue soluzioni un chiuso in (R3, e).

Infatti definiamo f : R 3 R2 tale che f(x, y, z) = (x2 - y2z + xy2 - z5, xy - zx2 + 7y); per quanto osservato nellesempio precedente, f risulta continua.

Quindi C = f--1((0, 0)) chiuso perch {(0, 0)} chiuso in R2.

 

 

Esempio 6

 

L'insieme C definito come nell'esempio 5 qui sopra, una esempio di fibra di f.

Pi in generale questo vero per l'insieme delle soluzioni di un qualsiasi sistema di equazioni.

 

 

 

Esempio 7

 

p: R2R tale che p(x, y) = x aperta, ma non chiusa, infatti "essere aperta" e "essere chiusa" sono propriet indipendenti l'una dall'altra. Sia

C = {(x, y)| xy - 1=0}

allora p(C) = R \ {0} che non un chiuso in R, mentre C lo .

 

 

Esempio 8

 

Vediamo un esempio di applicazione chiusa, ma non aperta: sia C chiuso in uno spazio topologico X, sia i: C X l'inclusione di C in X; essa ovviamente chiusa, ma non aperta, infatti usiamo la

Proposizione: S aperto in X i: S X aperta;

S chiuso in X i: S X chiusa.

la cui dimostrazione data per esercizio.

 

 

Esempio 9

 

(R2, e); r = {(x, y)| x - y + 5= 0},

i: rR2 chiusa, ma non aperta.

(Vedere esempio8).