Connessione
Uno spazio topologico X è detto connesso se vale una delle seguenti condizioni:
Proposizione 1.2
Le tre condizioni della definizione 1.1 sono equivalenti.
Se uno spazio topologico non è connesso, si dice che è sconnesso
Osservazione 1.4 Un sottoinsieme S di uno spazio topologico X è detto connesso se lo è con la topologia indotta.
Consideriamo ora R con la topologia euclidea.
E’ possibile dare una caratterizzazione di tutti i sottoinsiemi connessi della retta euclidea R:
Teorema 1.5 Tutti e soli i connessi della retta reale (con la topologia euclidea) sono gli intervalli.
Osservazione 1.6 Nel teorema precedente si parla di intervalli di R senza specificare se chiusi o aperti, limitati o illimitati. In particolare tutta la retta è un intervallo, quindi il teorema ci assicura che la retta R con la topologia euclidea è uno spazio connesso.
Proposizione 1.7
Osservazione 1.8 La connessione è una proprietà topologica.
Esempi | Esercizi |