Esempi sulla Connessione

 

 

Esempio 1

 

Un qualsiasi insieme X con la topologia banale connesso;

X con almeno due punti dotato di topologia discreta non connesso, infatti se x X, allora X = {x}(X \{x});

X con la topologia cofinita connesso se e solo se infinito, oppure se costituito da un solo punto.

R con la topologia cofinita connesso.

 

 

 

Esempio 2

 

Rn (n 1) con la topologia euclidea connesso.

 

 

 

Esempio 3

 

Sia p un punto di (Rn, e), l'insieme Rn \ {p} connesso se e solo se n > 1.

 

Questo implica che R \ {p} sconnesso (diciamo anche che p sconnette R).

 

 

 

Esempio 4

 

Consideriamo gli insiemi A e B come in figura. Siano H1 = {(x, y) | x < 5/2} e H2 = {(x, y) | x > 5/2} due aperti di R2.

Consideriamo l'insieme X R2, con la topologia indotta da e di R2, definito in questo modo:

X = A B .

X tale che:
XH1 = A e

XH2 = B;

A e B sono aperti di X e sono tali che AB = , quindi X sconnesso.

 

Esempio 5

 

X = [0,1] connesso (vedi Teorema1.5);

mentre X = [0,1] \ {1/2} sconnesso, infatti X = ((-, 1/2) X) ((-1/2, +) X).

 

 

 

 

Esempio 6

 

Sia f: [0,1] S1, ove f(t) = (cos2pt, sen2pt); f continua e suriettiva ([0,1] connesso), quindi, per la proposizione 1.7, S1 connessa;

Se consideriamo X = f((1/2, 1]), per la stessa ragione, connesso:

 

 

Esempio 7

 

Uno sconnesso pu avere un'immagine attraverso una applicazione continua che sia connessa:

X = {y = 1}{y = 2}, sia p: R2 R ove p((x, y)) = x; allora p| X: X R continua e suriettiva, ma R connesso e X sconnesso.

 

 

 

 

Esempio 8

 

Sappiamo che R S1 \ {p} dove p un punto di S1; essendo R connesso, allora S1 \{p} connesso.