3. Medie analitiche
     
  Per descrivere l'insieme delle osservazioni di un carattere su di un collettivo possiamo impiegare una delle distribuzioni di frequenze appena viste, affdarci a opportune rappresentazioni grafiche, oppure possiamo limitarci a riportare il valore di precisi indici che evidenzino le caratteristiche essenziali della distribuzione del carattere. Un primo tipo di tali indici sono le medie. Esse possono essere analitiche, cioè calcolate attraverso operazioni algebriche sui valori del carattere, che dovrà essere perciò di tipo quantitativo, oppure di posizione, che possono essere determinate anche su caratteri di tipo qualitativo in quanto non utilizzano tali operazioni.
 

Definizione 13. Dato un insieme di n valori di un carattere quantitativo X, la sua media aritmetica è definita da
  (1)
 
Se il carattere X è quantitativo discreto e conosciamo la sua distribuzione di frequenze, possiamo calcolare più velocemente la media aritmetica in questo modo:
  (2)
  dove sono le differenti modalità assunte dal carattere, mentre e sono rispettivamente la frequenza assoluta e relativa della j-esima modalità . Se si conosce la distribuzione di frequenze di un carattere X suddiviso in K classi del tipo con possiamo approssimare la media aritmetica del carattere con la seguente espressione:
 
(3)
  dove è il valore centrale della classe j-esima e è la corrispondente frequenza assoluta.
  Definizione 14. Si definisce media aritmetica ponderata di un carattere quantitativo X con K modalità e rispettivi pesi , il rapporto
  (4)
 

Proposizione 15. La media aritmetica possiede un certo numero di proprietà matematiche, tutte dimostrabili in maniera elementare.
1. La somma delle differenze tra i valori delle e la loro media aritmetica è pari a zero. In tal senso la media aritmetica può essere considerata in una posizione centrale rispetto ai valori del carattere X:
  (5)
  2. La media aritmetica minimizza la somma degli scarti quadratici dei valori da una costante , cioè la funzione
  (6)
  3. Siano dati e la distribuzione di un carattere X con media . Posto Y=aX+b, si ha