Considerazioni riguardanti le varie definizioni  presentate
Diagramma ad albero

Non dovrebbe fare scalpore che siano state formulate, nel tempo, diverse definizioni di probabilità ma è certamente anomalo che queste restino per qualche verso, tutte parzialmente valide ma tutte non completamente soddisfacenti

Ognuna di queste definizioni ammette dei limiti e si applica solo a casi particolari.

La definizione classica è “circolare” nel senso che definisce la probabilità utilizzando il concetto di eventi equiprobabili e si applica solo a insiemi finiti; quella frequentista è vincolata alla possibilità di realizzare prove ripetute nelle stesse, identiche condizioni; quella soggettivista non è accettata da alcuni perché ritenuta fondata su una visione non oggettiva.

Esempio :  Qual è la probabilità che un neonato sia femmina?

In seguito alla gravidanza può nascere un bambino maschio o una femmina.  
1 su 2 = 50% (definizione CLASSICA di probabilità - probabilità A PRIORI)
Però nel mondo, in assenza di interventi dell’uomo (aborti o infanticidi selettivi, omessa denuncia) nascono 1057 maschi ogni 1000 femmine.  
1000 / (1000+1057) = 48,6% (definizione FREQUENTISTA di probabilità  -  probabilità A POSTERIORI)
L’ecografista, alla decima settimana di gravidanza, dice ai genitori che 80 su 100 il neonato è femmina. (definizione SOGGETTIVISTA di probabilità). L’ecografista, secondo le sue opinioni ed informazioni, esprime coerentemente il suo grado di fiducia nell’avverarsi dell’evento “nascita di una femmina”.

Spesso si può usare un diagramma ad albero per rappresentare i casi possibili.
Questo ci permette di avere un'elencazione grafica di tutti gli elementi dello spazio campione. Se poi si scrive su ciascun ramo la probabilità dell'evento rappresentato nel nodo seguente, tenuto conto ovviamente del fatto di trovarsi su un determinato ramo, la probabilità di uno qualsiasi degli eventi sui rami terminali è data dal prodotto delle probabilità scritte sull'intero percorso, in quanto si tratta di un'applicazione diretta della formula delle probabilità composte.
L'utilità di una simile procedura è evidente nel caso di spazi campione con punti non equiprobabili, in quanto fornisce un modo per calcolare la probabilità di ciascun punto campione. Ovviamente se il numero dei rami fosse piuttosto grande, converrebbe fare uso delle formule del calcolo combinatorio per determinare la cardinalità dello spazio campione e di ciascun evento sotto studio.

Esempio: Determinare la probabilità matematica P.M. che i tre figli di una coppia siano femmine. ( 1F= primo figlio, 2F=secondo figlio, 3F=terzo figlio)

Usiamo solamente il diagramma ad albero:

 


In un diagramma ad albero, il numero totale dei percorsi rappresenta il numero totale dei eventi possibili - ad ogni percorso è associata la probabilità corrispondente all'evento.
Ecco la regola generale per "muoversi" su un diagramma ad albero:

Esempio:



Note : È degno di nota, come ha osservato Ian Hacking in “The Emergence of Probability”, che la probabilità fin dall'inizio reca il marchio di una “dualità” concettuale di fondo: da un lato appare definibile in termini di gradi di credenza soggettiva, dall'altro si lascia rappresentare come una misura di frequenze statistiche oggettive (chance). Lo stesso Pascal mostrava una certa ambivalenza nel momento in cui da un lato studiava statisticamente le distribuzioni di risultati nei giochi di azzardo, dall'altro usava il celebre argomento della scommessa per mostrare la superiore razionalità di chi sceglie di credere in Dio. L’ argomento si può ricostruire così.

Possiamo visualizzare le alternative di guadagno positivo o negativo in dipendenza dell'atteggiamento verso l’esistenza di Dio in questo modo combinatorio

ponendo: X = piaceri e onori di questo mondo e Y = rinuncia ai piaceri e onori di questo mondo.  
 

 

L’anima è immortale

L’anima è mortale

Vivere da ateo

X + Inferno

X

Vivere da credente

Y + Paradiso

Y

    Non c’è dubbio che Y è peggiore di X; ma d’altro canto (X + Inferno) è peggiore sia di Y sia di (Y + Paradiso )   - non c’è niente di peggio che dimorare all'inferno per un tempo infinito. 
  In base al principio cosiddetto del minmax (grosso modo "logica del meno peggio"), bisogna scegliere quella linea di condotta che ci dà complessivamente il minore svantaggio: ed è chiaro che la scelta migliore è quella di vivere da credente.
  Questo argomento ha fatto considerare Pascal il padre di quel ramo delle scienze formali oggi nota come teoria delle decisioni. 
    Il ragionamento di Pascal è che conviene credere a Dio perché, se si ammette l'esistenza di una probabilità (soggettiva), per quanto piccola ma non nulla, che Dio esista, allora bisogna sforzarsi di vivere una vita all'insegna dei valori cristiani per meritare il premio dell'eterna beatitudine. Infatti, la scelta di ricercare la salvezza ha una conseguenza il cui valor medio e infinito, poiché una frazione, anche piccolissima, di una quantità infinita (il valore della vita eterna) e comunque infinita. Pascal stesso afferma:  

"Qui c'è effettivamente un'infinità di vita infinitamente beata da guadagnare, una probabilità di vincita contro un numero finito di probabilità di perdita, e quel che rischiate è qualcosa di finito. Questo tronca ogni incertezza: dovunque ci sia l'infinito, e non ci sia un'infinita di probabilità di perdere contro quella di vincere, non c'è da esitare: bisogna dar tutto."   (Blaise Pascal, "I Pensieri")

E ancora:
"[...] E così, la nostra offerta possiede una forza infinita, quando c'è da arrischiare il finito in un gioco in cui sono uguali le probabilità di perdita e di guadagno, e c'è un infinito da guadagnare." (Blaise Pascal, "I Pensieri")

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