Agli inizi del XX secolo si sentiva l’esigenza di sistematizzare in modo rigoroso le diverse concezioni, nel tentativo di costruire una teoria unificata della probabilità. Emblematico fu che al congresso di Parigi del 1900 il matematico Hilbert, presentando una lista dei problemi ancora aperti e di cui urgeva trovare una soluzione, inserisse al sesto posto l’assiomatizzazione della probabilità. In questo contesto la scelta degli assiomi da porre a fondamento dell’intera teoria accese un dibattito molto intenso tra le diverse correnti di pensiero, che rivendicavano la propria concezione di probabilità come elemento fondante.

    Questa impostazione non dà della probabilità una definizione diretta ma accetta qualunque approccio, purché questo rispetti le proprietà fondamentali, assunte come assiomi; da queste si deducono le altre proprietà come teoremi.

Un assioma è un’affermazione che non si dimostra in quanto principio di base universalmente accettato.

La teoria assiomatica si fonda su tre momenti fondamentali:

• l’individuazione dei concetti primitivi di prova, evento e spazio così come definiti in precedenza;
• l’enunciazione degli assiomi (o postulati) della probabilità;
• la dimostrazione dei teoremi mediante i postulati e con l’ausilio della logica e della matematica.

Postulati della probabilità

I) Positività:
La Probabilità di un evento A è un numero unico maggiore o uguale di 0: P(A)≥0.

II) Certezza:
La Probabilità dell’evento certo e quindi dello Spazio Campionario Ω è sempre 1: P(I)=P(Ω)=1.  (dove con “I” si indica un evento certo)

III) Unione:
Siano A e B due eventi incompatibili, allora la probabilità della loro unione è la somma delle singole probabilità di A e B.

La teoria assiomatica si fonda su tre momenti fondamentali:

• l’individuazione dei concetti primitivi di prova, evento e spazio così come definiti in precedenza;
• l’enunciazione degli assiomi (o postulati) della probabilità;
• la dimostrazione dei teoremi mediante i postulati e con l’ausilio della logica e della matematica.

Il terzo postulato si può estendere all'unione di un infinita numerabile di eventi e tale postulato viene detto postulato della sommabilità completa.

A partire da questi tre assiomi, sono stati in seguito formulati veri teoremi e varie leggi, che costituiscono la base della moderna teoria della probabilità.

Teoremi fondamentali della probabilità

I) Probabilità dell’evento impossibile
La probabilità dell’evento impossibile è pari a 0.

II) Probabilità dell’evento negazione
Dato un evento A, la probabilità dell’evento negazione di A è pari al complemento a 1 della probabilità di A.

III) Probabilità totali
Dati due eventi A e B, la probabilità dell’unione di A e B è pari alla somma delle singole probabilità dei due eventi meno la probabilità dell’intersezione.

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

Quest’ultimo teorema generalizza il concetto dell’unione per eventi compatibili.

Altri teoremi derivati dai postulati:

• Probabilità di un evento incluso in un altro :  A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B) 

• Prob dell’evento “si verifica B ma non A” :     P(Ā∩B) = P(B) − P(A∩B)

• Probabilità totali per eventi incompatibili: 

       dati n eventi incompatibili, tali cioè che la loro intersezione è impossibile a due a due, la probabilità della loro unione è pari alla somma delle singole probabilità marginali. In simboli:

 Se per  abbiamo  , allora :

 abbiamo :