Non sempre i fenomeni casuali si presentano in modo chiaro, con un bell'elenco di casi possibili, tutti ugualmente possibili, fra i quali selezionare quelli favorevoli ad un certo evento. Pensiamo all'esito della battaglia di Waterloo, la sera prima di essere combattuta, anche qualora supponessimo di avere tutte le informazioni circa le forze in campo. La Storia c'insegna che le cose possono andare nel modo più impensato, come certamente avrà constatato Napoleone. Neppure è possibile chiedere ai soldati di ripetere la battaglia per migliaia di volte, in modo che si possano ottenere le frequenze relative, resuscitando ogni volta i morti per ristabilire le stesse condizioni di partenza! In situazioni analoghe a questa non si può che considerare tutti i possibili casi ed assegnare a ciascuno di essi un valore di probabilità in base al nostro grado di fiducia, basandoci sulle conoscenze che abbiamo circa la natura dei fenomeni. L'importante è che siano rispettate due regole fondamentali: la probabilità di ciascun evento deve avere un valore compreso tra 0 ed 1 e la somma delle probabilità di tutti i possibili eventi dev'essere 1.

• la conoscenza del meccanismo che regola il fenomeno
• la ripetibilità del fenomeno

Il brano che segue, meglio di ogni altro, può farci entrare nella concezione soggettiva della probabilità.

"La “verità” di un’asserzione, di una proposizione, si può intendere in due modi: o, in senso obiettivo, come conformità a una realtà esterna, concepita come indipendente da noi, o, in senso soggettivo, come conformità alle nostre opinioni, impressioni, sensazioni.
La logica è la scienza che dalla verità o dalla falsità di certe premesse insegna a dedurre e concludere la verità o falsità di certe conseguenze; a seconda del senso che daremo al concetto di verità avremo dunque due modi diversi di concepire la logica. Se la verità si concepisce in senso obbiettivo, la logica appare come una proprietà di cui deve godere il mondo reale, come una specie di legge esteriore che regola la verità o la falsità, in senso obbiettivo, di certe proposizioni. Se ci si limita invece all’aspetto soggettivo, la logica non riguarda che i processi mentali, e non insegna se non la coerenza del pensiero in sé stesso. Questa seconda accezione è più generale e più larga dell’altra, perché indipendente da ogni particolare precisazione del valore da dare al concetto di “vero” o di “falso”.
Di molte asserzioni, o proposizioni, spesso non sappiamo dire se sono “vere” o “false” (ad es. per quasi tutto ciò che riguarda gli eventi futuri), ma soltanto se sono più o meno verosimili o probabili. Anche qui si presentano le due alternative: di concepire tale valutazione di probabilità come avente un senso obiettivo, o come avente semplicemente un senso soggettivo. Quasi sempre si cerca, anche con grandi sforzi, di persuadere e di persuadersi dell’esistenza di un significato obbiettivo; tutti questi sforzi ebbero però sempre un esito poco soddisfacente, tanto vero che nessuna definizione o concezione di probabilità ha mai saputo imporsi o affermarsi.  

    ll calcolo delle probabilità è la logica del probabile. Come la logica formale insegna a dedurre la verità o falsità di certe conseguenze dalla verità o falsità di certe premesse, così il calcolo delle probabilità insegna a dedurre la maggiore o minore verosimiglianza o probabilità di certe conseguenze dalla maggiore o minore verosimiglianza o probabilità di certe premesse. Per chi attribuisca alla probabilità un significato obbiettivo, il calcolo delle probabilità  dovrebbe avere un significato obiettivo, i suoi teoremi esprimere delle proprietà che nel campo del reale risultano soddisfatte. Ma è inutile fare simili ipotesi. Basta limitarsi alla concezione soggettiva, considerare cioè la probabilità come grado di fiducia sentito da un dato individuo nell'avverarsi di un dato evento, e si può dimostrare che i noti teoremi del calcolo delle probabilità sono condizioni necessarie e sufficienti perché le opinioni di un dato individuo non siano intrinsecamente contraddittorie e incoerenti."

Bruno de Finetti, `Fondamenti logici del ragionamento probabilistico',  in "Bollettino dell'Unione Matematica Italiana"  anno IX N. 5, dicembre 1930    Edito dalla Casa Editrice Nicola Zanichelli, Bologna

    La concezione soggettivista sottolinea l'impossibilità di accertare la sostanziale obbiettività della probabilità. 

Perfino quando in una moneta attribuiamo all'evento testa la probabilità 1/2, questo atto avviene non perché è accertato che la moneta sia perfettamente equilibrata, (non esiste moneta perfetta, neppure fra le nate in una simulazione al calcolatore) ma solo perché, verosimilmente, la riteniamo sufficientemente equilibrata, fidando sul fatto che non sia stata truccata.

    La definizione soggettivista sembra far tornare nel limbo dell'incertezza il calcolo delle probabilità, ma a ben guardare ci si accorge del contrario. Esistono infatti eventi per i quali non è applicabile nessuna definizione precedente, eventi per i quali non è possibile intuire a-priori la probabilità e non è possibile calcolare neppure la frequenza, trattandosi di eventi unici.

       Il modello soggettivo esprime il grado di fiducia che si ha nella realizzazione di un evento e quindi, in esso diventa preponderante il fattore personale. Questo modo di pensare alla probabilità non è relativo soltanto alle scommesse, ma anche alle tecniche di gestione aziendale. Un'azienda che voglia organizzare la produzione di un nuovo prodotto da immettere sul mercato, dovrà valutare la probabilità che venga acquistato, ma per ottenere una tale probabilità non potrà usare né la concezione classica, né quella frequentista; dovrà analizzare le condizioni del mercato e, sulla base delle conoscenze acquisite, della fiducia nella bontà del prodotto, stabilire le quantità da produrre.

          Nella maggior parte dei casi, gli eventi aleatori, sono di questo tipo.

         Un esempio classico è rappresentato dalla scommessa sul risultato di un avvenimento sportivo. L'unico strumento corretto sono le quote degli allibratori che a seconda della fiducia dei giocatori stabiliscono la QUOTA di ciascun evento. La probabilità di un evento in tali casi non può che essere rappresentato dal rapporto fra il prezzo C che un individuo coerente ritiene giusto scommettere e la somma S che ha diritto di avere in cambio se l’evento si verifica, perdendo invece la somma se l’evento non si verifica:

P(E) = C / S

Un altro esempio : C’è la finale di Champions League fra Il Real Madrid e il Manchester United; chi vincerà la famosa Coppa dei Campioni?

Il risultato della partita dipende da numerosissimi fattori: le formazioni delle squadre, la condizione atletica, il modulo di gioco, lo stato del terreno, l’arbitraggio, le espulsioni, i falli da rigore ecc. Anche qui la risposta è difficile. Una previsione del risultato finale dipende più da “percezioni” che da fattori oggettivi. Questa probabilità è di tipo soggettivo, dipende cioè “da come noi consideriamo la forza delle squadre”; chissà quante volte vi è capitato di dire (dopo la partita) “Abbiamo perso - è vero - però senza quel rigore non finiva così!”.

Esempio: Alessio è disposto a scommettere 1 contro 20 sul fatto che nel pomeriggio arrivi finalmente l'idraulico a riparare il rubinetto che perde da una settimana: attribuisce cioè a tale evento una probabilità pari ad 1/21 (meno del 5%). È come se ci trovassimo ad effettuare un sorteggio da un'urna con 1 pallina rossa (evento positivo = arrivo dell'idraulico) e 20 palline nere (eventi negativi = assenza dell'idraulico). Ricapitolando: Alessio sta implicitamente dando una valutazione di probabilità, e tale valutazione attribuisce una probabilità 1/21 al realizzarsi dell'evento positivo = arrivo dell'idraulico. La frazione che esprime la probabilità ha numeratore uguale ad 1 che corrisponde a quanto Alessio è disposto a puntare e denominatore pari a 21 corrisponde alla puntata di Alessio sommata alla puntata di un ipotetico sfidante. Per quanto il dominio della probabilità soggettiva appaia incerto e arbitrario, vale la pena di osservare che proprio questa è la definizione di probabilità a cui più spesso ricorriamo nelle nostre considerazioni quotidiane ("domani pioverà, "questa volta passerò l'esame", ecc.).