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Spesso nella vita quotidiana affrontiamo
scelte di cui non sappiamo prevedere le conseguenze. La parte della matematica
che si occupa di razionalizzare le interpretazioni dei fenomeni casuali,
invece che affidarsi a pregiudizi, a superstizioni o al fato, è detta calcolo delle probabilità. In certi casi, la probabilità si può calcolare direttamente conoscendo il numero dei casi favorevoli dalla totalità dei casi possibili, purché essi siano finiti e tutti ugualmente possibili (gli eventi elementari sono equiprobabili). La probabilità del verificarsi di un evento A, è:
Se consideriamo come evento di interesse il presentarsi della faccia con il numero 5, la probabilità dell'evento in questione è misurata dal valore 1/6. P (A=5) = 1/6 Se, nel medesimo esperimento, avessimo definito l'evento A come "presentarsi di una faccia con numero pari", i casi favorevoli a A sarebbero stati 3 (i numeri 2;4;6) e la relativa probabilità sarebbe stata espressa dal rapporto 3/6 =1/2. Generalizzazione sul continuo
Con Laplace non parliamo solo di numeri razionali appartenenti all’insieme Q, ma anche di numeri reali. Parliamo di numeri reali quando ci riferiamo a misure di:
L'estensione
al caso di eventi con risultati continui si attua attraverso una
rappresentazione geometrica
in la probabilità di un evento casuale è data dal rapporto tra l'area
favorevole all'evento
e l'area totale degli eventi possibili.
Consideriamo un esempio: Supponiamo
che un bambino lanci dei sassi contro una parete forata senza prendere la mira. Siano
i fori sulla parete distribuiti a caso e per semplicità assumiamo che le
dimensioni dei sassi
siano molto piccole rispetto a quelle dei fori. Ci si chiede qual è la
probabilità P che un sasso
passi dall'altra parte. Se A è l'area della parete e a l'area
di ciascuno dei k fori, la probabilità
che un sasso passi è data dall'area "favorevole" divisa l'area totale
P = ka / A La
quantità 1/A può essere considerata come una densità di
probabilità. Essa è infatti la probabilità
che ha un sasso di colpire una particolare superficie unitaria del muro: moltiplicando
questa densità per l'area favorevole si ottiene direttamente la probabilità.
Si noti bene che questa definizione oggettiva di probabilità diventa di difficile applicazione nelle numerose situazioni in cui la densità di probabilità non può più essere considerata uniforme, ovvero quando vengono meno le condizioni di simmetria. Ad esempio nel caso del bambino che lancia i sassi contro il muro può verificarsi che le dimensioni dei fori varino dal centro verso i bordi del muro e il bambino cerchi di mirare al centro. La definizione classica di probabilità é inutilizzabile quando non si conosca a priori il numero dei casi possibili, come nella quasi totalità degli eventi reali, si pensi al caso in cui si voglia definire la probabilità che l'anno prossimo una squadra vinca lo scudetto, o che l'autovettura che ho abbia un guasto. Gli sviluppi del calcolo delle probabilità, e le sue applicazioni ad attività commerciali come ad esempio le assicurazioni, fecero vacillare la definizione classica. La definizione classica non si può applicare se gli esiti sono infiniti. Esempio: Nell’insieme dei numeri naturali qual è la probabilità che un numero scelto a caso sia pari? La risposta intuitiva è 1/2, ma la definizione classica non si può applicare perché sia gli esiti possibili che quelli favorevoli sono infiniti (∞). Esempio: Qual'è la probabilità che prendendo a caso un punto nel quadrante [0;1][0;1] si trovi sopra la bisettrice y=x? Esempio:  |
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