“Sono certo di poterlo spiegare,
 ma ciò richiederà qualche parola da parte mia e un po’
 di pazienza da parte vostra”
  (Blaise Pascal, lettera a Pierre de Fermat, 24 agosto 1654)

“Il concetto di Probabilità è il più importante della scienza moderna,
perché nessuno ha la più pallida idea del suo significato”
(Bertrand Russell, 1872-1970)

    Possiamo definire il Calcolo delle probabilità come la teoria matematica dell’incertezza. La teoria dice come si devono formulare in maniera corretta delle valutazioni probabilistiche o, in altri termini, come si deve formulare un modello probabilistico. Come ogni modello matematico, anche quello probabilistico, da un lato, consente la trattazione di un problema di interesse in modo logico e rigoroso; dall’altro, rappresenta necessariamente un’astrazione della realtà e ne cattura solo alcuni aspetti. Inoltre, il modello deve condurre a risultati “utili”, che siano in accordo con l’evidenza sperimentale. Altrimenti se ne impone la revisione.

Si cerca di chiarire innanzi tutto il concetto di evento. Per evento si intende qualsiasi fatto o avvenimento che può essere osservato. Un  evento  è descritto da un enunciato, che può essere vero o falso.

• “È uscita la pallina rossa alla roulette”
• “È uscito il 3 nel lancio di un dato”

Un evento si dice casuale o aleatorio se si verifica oppure non si verifica:  le cause che lo producono non si possono oggettivamente controllare o governare. 
           Per esempio: la vittoria di un atleta in una gara è un evento incerto, in quanto l’atleta può vincere oppure no.
             Altro esempio: Se una scatola contiene palline bianche e nere, l’estrazione di una pallina nera è un evento possibile ma non certo, cosi come l’estrazione di una pallina bianca. In altre parole, non possiamo prevedere il colore della pallina estratta, perché l’estrazione è casuale.          

Un esperimento che dà luogo a differenti risultati se ripetuto più volte sotto le stesse condizioni verrà chiamato esperimento casuale. Un esperimento casuale o aleatorio è un fenomeno osservabile, ma non prevedibile. Cioè conoscendo i dati iniziali e le leggi, non possiamo prevederne il risultato. Ciò che invece possiamo conoscere è l'insieme di tutti i possibili risultati.
       I risultati di un esperimento casuale vengono chiamati eventi elementari, di norma indicati con A,B,C ecc. Per l'evento non-elementare (composto) si intende un evento che può essere a sua volta scomposto in più eventi elementari.

Esempi:

•  Nell'esperimento " lancio di un dado", i possibili eventi elementari sono : {1;2;3;4;5;6}.
•  I singoletti {1},{2},... sono gli "eventi elementari".
•  Un esempio di un evento non-elementare è "esce un numero pari", che si verifica ogni volta che esce uno qualsiasi degli eventi elementari {2};{4};{6}
• Nell'esperimento "esame universitario", un possibile evento elementare è il voto 28, un evento non-elementare è "un voto" > 26".

Si può misurare la casualità di un evento? La probabilità di un evento casuale può essere misurata. Il Calcolo delle Probabilità si occupa di misurare la probabilità con la quale si verificano gli eventi aleatori.
 
In cosa consiste un modello probabilistico? Innanzitutto dobbiamo fissare un insieme che contenga come elementi tutti i possibili esiti dell'esperimento sotto considerazione. Questo insieme verrà generalmente indicato con il simbolo Ω e chiamato spazio degli eventi elementari o spazio campionario.
Osservazione: Ogni sottoinsieme di Ω è detto evento, dunque gli eventi elementari sono eventi e Ω stesso è un evento.  
 
Esempio:      Lancio della moneta: Ω = {T;C}                           Lancio del dado: Ω =  {1;2;3;4;5;6}
                     

                      Lancio di due dadi  Ω = {(1;1); (1;2);(2;1); (1;3); (3,1); (2;2);......................}



Supponiamo dunque:  Ω = {A;B;C...}  dove gli elementi   A,B,C ecc sono gli eventi elementari. 

Si consideri l’esperimento casuale che consiste nel contare il numero di accessi ad un sito Internet. Lo spazio campionario corrispondente sarà costituito da seguenti punti campionari (in simboli):  Ω =  {0;1;2;...;n}. In questo caso, si ha a che fare con uno spazio campionario con cardinalità infinita numerabile, in quanto, l’insieme di tutti i possibili risultati dell’esperimento casuale è un insieme costituito da un numero infinito di elementi, numerabile, in quanto, gli elementi possono essere messi in corrispondenza con gli elementi dell’insieme degli Interi non negativi (i quali coincidono con i Naturali comprensivi dello zero).

Si consideri l’esperimento casuale che consiste nel contare il numero di casi di influenza del mese prossimo. Lo spazio campionario sarà costituito da seguenti punti campionari (in simboli): Ω =  {0;1;2;...;n}. Altro esempio di spazio campionario con cardinalità infinita numerabile, in quanto, l’insieme di tutti i possibili risultati dell’esperimento casuale è un insieme costituito da un numero infinito di elementi in corrispondenza con gli Interi non negativi.

Si consideri l’esperimento casuale che consiste nel testare la durata di uno pneumatico. Lo spazio campionario corrispondente sarà costituito dai punti campionari appartenenti all’intervallo aperto (a destra)
 dove  rappresenta il punto di massima durata dello stesso pneumatico. In questo caso, si parla di spazio campionario con cardinalità infinita non numerabile, in quanto, l’insieme di tutti i possibili risultati dell’esperimento casuale è un insieme costituito da un numero infinito di elementi, non numerabile, in quanto non è possibile associare gli elementi del suddetto insieme con gli elementi dell’insieme degli Interi non negativi.

Lo spazio campionario è l’insieme dei risultati possibili dell’esperimento campionario considerato. Lo spazio campionario può essere costituito da un numero finito di punti campionari (come nel caso del lancio della moneta, dei pezzi buoni/difettosi, delle palline estratte da un’urna o dell’estrazione alla roulette), oppure da un’infinità numerabile di punti campionari (come nel caso del numero di  computer prodotti, del numero di accessi ad un sito internet o del numero di battiti cardiaci), o infine da un’infinità non numerabile di punti campionari (nessun numero reale può essere escluso come risultato possibile dell'esperimento come nel caso del test di durata di un pneumatico, del PIL italiano fra 5 anni, della temperatura di un luogo o del indicatore di redditività ROE di un’impresa). Si dice infinito non numerabile uno spazio campione i cui eventi semplici sono  tali, per cui fissati due di essi, è sempre possibile determinare almeno un terzo intermedio. Per esempio lo spazio costituito dall'evento "esatto momento della nascita" è uno spazio infinito non numerabile. Infatti, prese due qualunque persone nate ognuna in un certo momento, è sempre possibile individuare una terza la cui nascita si colloca tra le due precedenti.

Lo spazio campione associato ad un esperimento si dice discreto se è uno spazio finito o infinito numerabile. Lo spazio campione si dice continuo se è uno spazio infinito non numerabile.

Ad ogni evento è associato un numero reale che è tanto maggiore quanto più è elevata la possibilità che si verifichi l'evento stesso: chiamiamo tale numero probabilità dell'evento. La probabilità rappresenta una misura numerica della possibilità di realizzarsi di un evento.
In un dato esperimento, l'evento A si verifica con la probabilità P(A)
 
Definiamo evento certo quell'evento che in seguito ad un esperimento deve obbligatoriamente verificarsi. Tale evento costituisce l'unita di misura per la probabilità: si attribuisce, cioè, all'evento certo probabilità uguale all'unità. Di conseguenza tutti gli altri eventi, probabili ma non certi, saranno caratterizzati da probabilità minori all'unità.
Esempio: estrarre una pallina rossa da un'urna che contiene esclusivamente palline rosse.

L'evento contrario all'evento certo è detto evento impossibile, ossia un evento che non può accadere nella prova in questione. L'evento impossibile si annota con il simbolo Ø.
All'evento impossibile è associata una probabilità uguale a zero.
Ad esempio l'apparizione del numero 7 al lancio di un dado.
 
Si noti che uno stesso evento può essere certo, impossibile o aleatorio a seconda del contesto in cui viene considerato.

Esempio:  L’evento  « Stefano vince alla lotteria »,
                        è certo se Stefano compra tutti i biglietti della lotteria,
                        è impossibile se non ne compra nemmeno uno,
                        è casuale (aleatorio) se ne compra uno o più di uno, ma non tutti.
 
Dunque l'evento è un sottoinsieme dello spazio Ω (cioè è un sottoinsieme di tutti i risultati possibili), ed un evento si dice:

•  elementare se è costituito da un solo elemento;

•  certo, se coincide con  Ω;

•  impossibile, se è l’insieme vuoto Ø

Si dicono eventi incompatibili (o disgiunti) quegli eventi aleatori che non possono verificarsi simultaneamente in una data prova. Il verificarsi dell’uno esclude il verificarsi contemporaneo dell’altro cioè abbiamo A ∩ B = Ø . Ad esempio l'apparizione simultanea di testa e di croce nel lancio di una moneta.
Osservazione: due eventi elementari sono sempre incompatibili !

Due eventi A e B, appartenenti all'insieme delle parti di Ω si dicono compatibili se il verificarsi dell’uno non esclude il verificarsi dell’altro cioè: A ∩ B  ≠  ∅ .
Esempio: Nel lancio del dado l' evento "esce faccia 3" e compatibile con l'evento "esce faccia dispari"


Due eventi A e B, appartenenti all'insieme delle parti di Ω si dicono esaustivi se la loro unione genera l'intero spazio campionario; in simboli:


Esempio: Consideriamo l’esperimento casuale lancio di un dado non truccato con spazio campionario Ω =  {1;2;3;4;5;6}. Se A = {1;3;5} e B = {2;4;6} sono eventi (due sottoinsiemi di  Ω) corrispondenti rispettivamente al caso in cui al lancio del dado escano i numeri dispari ed al caso in cui al lancio del dado escano i numeri pari, questi due eventi sono esaustivi perché abbiamo:

Degli eventi casuali si dicono eventi equiprobabili in una data prova se la simmetria dell'esperimento permette di supporre che nessuno di essi sia più probabile di un altro. Ad esempio l'apparizione di una delle sei facce di un dado nel caso in cui questo sia regolare (non truccato).

Due eventi si dicono indipendenti se il verificarsi dell’uno non influisce sul verificarsi dell’altro.
Due eventi si dicono dipendenti se il verificarsi dell’uno influisce sul verificarsi  dell’altro.

Ci sono vari approcci al concetto di probabilità:

• Definizione classica - probabilità classica (o a priori, o matematica, o di Laplace)
• Definizione frequentista - probabilità frequentista (o a posteori, o statistica, o legge empirica del caso) 
• Definizione soggettivista
• Definizione assiomatica