Indipendenza Stocastica
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Considerando
una coppia di eventi A e B, sottoinsiemi di uno spazio campionario Ω.
Lo studio della relazione stocastica tra B e A è basata sul confronto
tra probabilità di B: P(B) e P(B|A)
che è la probabilità di B valutata sotto l'ipotesi che l'evento A si è
verificato. Tale confronto dovrebbe chiarire se l'informazione che
l'evento A si è verificato è rilevante ai fini della valutazione
della probabilità di B.
P(A | B) = P(A)
L'evento B è stocasticamente indipendente di A se P(B) = P(B|A) . Se invece P(B|A)≠P(B), allora B è stocasticamente dipendente di A, visto che l'ipotesi che l'evento A sia vero comporta comunque una revisione (aumento e diminuzione) della probabilità di B. Due eventi A e B sono fra loro indipendenti se il verificarsi dell’uno non influisce sul presentarsi dell’altro (il verificarsi di B non influenza la probabilità di A e il verificarsi di A non influenza la probabilità di B) ossia si verifica una qualsiasi relazione (una implica le altre due): oppure P(B | A) = P(B), oppure P(A ∩ B) = P(A) P(B). cioè se la probabilità che si
verifichino entrambi eventi è il prodotto delle probabilità che ciascuno si
verifichi separatamente.
L’indipendenza non è una proprietà “insiemistica” degli eventi (come
ad esempio l’incompatibilità) ma è una proprietà legata alla misura di
probabilità.
Esempio: Consideriamo nel lancio
di un dado gli eventi:
A= esce un numero pari, P(A)= 1/2, B = esce un numero maggiore di 3, P (B ) = 1/2. Questi non sono indipendenti; infatti : P(A ∩ B) = P({4;6}) = 1/3 ≠ 1/4 = P(A)P(B) La definizione matematica di indipendenza conferma la nozione
intuitiva che ne abbiamo: gli eventi A e
B non sono indipendenti poiché fra le
facce maggiori di 3 ci sono più facce pari (4 e 6) che non sulle facce minori o
uguali a 3 (solo il 2);
Osservazione:
Nel caso di tre eventi A, B, C debbono essere soddisfate tutte le condizioni
seguenti:
P(A ∩ B) = P(A) P(B)
P(A ∩ C) = P(A) P(C) P(B ∩ C) = P(B) P(C) P(A ∩ B ∩ C) = P(A) P(B) P(C). Due eventi A e B si dicono dipendenti quando il verificarsi dell’uno influenza il verificarsi dell’altro: P(A ∩ B) = P(A)P(B|A) =
P(B)P(A|B)
Esempio: se si estraggono due palline da due urne diverse contenenti palline di più colori, i due eventi “la prima pallina sia rossa” e “la seconda pallina sia rossa” sono indipendenti. Se invece le due palline vengono estratte dalla stessa urna, e la prima pallina non viene rimessa nell’urna, l’evento “la seconda pallina sia rossa” dipende dal fatto che la prima lo fosse. In questo caso, dunque, il secondo evento dipende dal primo e due eventi vengono detti dipendenti. Nota: Attenzione a non confondere eventi indipendenti e eventi incompatibili. Se due eventi sono incompatibili allora non sono indipendenti (il verificarsi di uno ci dà la certezza che l’altro non può verificarsi). Due eventi incompatibili, cioè disgiunti, non sono mai indipendenti, a meno che uno dei due non abbia probabilità nulla: il fatto stesso di escludersi vicendevolmente fa sì che il verificarsi dell’uno dipenda dal verificarsi o meno dell’altro. Infatti per due eventi A e B indipendenti e incompatibili si ha: 0 = P(∅) = P(A | B) = P(A) · P(B) e quindi almeno una tra P(A) e P(B) è 0.
Se A e B sono incompatibili, abbiamo: A ∩ B ≠ ∅ P(A U B) = P(A) + P(B)
Se A e B sono compatibili,
abbiamo:A ∩ B ≠ ∅ P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Esempio:
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) =Calcolare la probabilità che lanciando un dado esca il 3 oppure il 4. I due eventi: “esce il 3” e “esce il 4” sono incompatibili. Infatti se esce il 3, ciò esclude l’uscita del 4.
P(A U B) = P(A) + P(B) = P(3) + P(4) = 1/6+1/6=2/6=1/3
Esempio: Calcolare la probabilità che venga estratto un asso o una carta di coppe da un mazzo di 40 carte napoletane. I due eventi: A=“esce l’asso” e B=“esce una carta di coppe” sono compatibili. Infatti se esce un asso, ciò non esclude che tale asso sia di coppe. P(Asso) + P(Coppe) - P(Asso di coppe) = 4/40 + 10/40 - 1/40 = 13/40 |
