Definizione-Proposizione 33   L’insieme delle permutazioni pari di , con , è un sottogruppo di  chiamato il gruppo alterno su n lettere ed indicato con .

 

Dimostrazione   Segue dall’osservazione 32.

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Proposizione 34   Sia . L’ordine di  è .

 

Dimostrazione   Sia  l’insieme delle permutazioni dispari di . Sia  una trasposizione di . Consideriamo l’applicazione  così definita:

  .

Osserviamo innanzitutto che , essendo  una permutazione pari.

Proviamo che  è biunivoca:

-         siano  tali che . Si ha  da cui si ottiene , cioè  è iniettiva;

-         sia . La permutazione  ed è tale che , cioè  è suriettiva.

Abbiamo in questo modo provato che  e  hanno lo stesso numero di elementi pari a .

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