Osservazione 28   Abbiamo visto che ogni permutazione di , , è prodotto di trasposizioni. Osserviamo però che tali trasposizioni possono non essere disgiunte ed inoltre la rappresentazione di una permutazione come prodotto di trasposizioni non è unica.

Ad esempio se  e  con  trasposizioni, si ha anche , essendo . 

Un altro esempio è il seguente: la permutazione  si può scrivere come:

.

 

Il teorema seguente ci dice però che la parità di una permutazione rimane la stessa.

 

Teorema 29   Sia . Se una permutazione  si scrive come prodotto di un numero pari (rispettivamente dispari) di trasposizioni, allora  non si può rappresentare come prodotto di un numero dispari (rispettivamente pari) di trasposizioni.

 

Dimostrazione.   Consideriamo la permutazione identica . Poiché si può esprimere come prodotto di un numero pari di trasposizioni, ad esempio , vogliamo provare che se

                                                             (1)

dove ogni  è una trasposizione, allora   è un numero pari.

Sia  un intero che appare in una delle trasposizioni , e sia  la prima trasposizione, contando da destra a sinistra, in cui  compare. Osserviamo che , altrimenti  non sarebbe lasciato fisso dall’identità. Inoltre il prodotto  sarà uguale ad una delle espressioni che compaiono a sinistra delle seguenti identità (la verifica è immediata); qui  rappresentano quattro elementi distinti; ricordiamo che :

,

,

,                                                   (2)

.

Se  è l’identità, nel prodotto , il numero di trasposizioni si riduce di due; se  è uguale ad una delle altre tre espressioni in (2), sostituendo,  compare per la prima volta nella trasposizione di posto , contando sempre da destra verso sinistra.

Ripetiamo tale procedimento finché  non compare più nell’espressione (1); ricordiamo che  non può apparire per la prima volta nell’ultima trasposizione (a sinistra), quindi alla fine si deve utilizzare la prima identità di (2) per eliminare  completamente.

Scegliamo un altro intero in  che compare nell’espressione (1) dopo aver effettuato le varie sostituzioni, e con un procedimento analogo a quello appena descritto eliminiamolo da (1).

Continuiamo in questo modo finché in (1) la sequenza a destra dell’uguale si riduce all’identità.

Poiché il numero  delle trasposizioni, ad ogni sostituzione, è rimasto invariato o è stato ridotto di due, possiamo concludere che  deve essere un numero pari.

Il teorema è così provato nel caso particolare dell’identità.

Sia ora  una permutazione di  e supponiamo che

dove  sono trasposizioni di .

Poiché ogni trasposizione è uguale alla sua inversa, si ha:

.

Abbiamo provato che l’identità è prodotto di un numero pari di trasposizioni, quindi  è un numero pari, cioè  e  sono entrambi pari o entrambi dispari.

□

 

Definizione 30   Sia , . Si dice che  è pari se è prodotto di un numero pari di trasposizioni, dispari se è prodotto di un numero dispari di trasposizioni.

Inoltre si dice che il segno di , , è  se  è pari,  se  è dispari.

 

Esempio 31   La permutazione

è pari; infatti

.

Invece la permutazione

è dispari; infatti

.

 

 

Osservazione 32   Siano , . Si ha:

1. se  dove  sono trasposizioni, allora ;
2. ;
3. .

 

Dimostrazione.  

1.       Segue subito dalla definizione.

2.       Se  e  dove  sono trasposizioni, si ha:

 e .

      Inoltre e quindi

.

3.       Essendo  una permutazione pari, dal punto 2 segue che

      cioè  e  hanno lo stesso segno.

□