Definizione 10 Sia , con , un sottoinsieme di . La permutazione di tale che:
- se ;
- ;
- ,
è chiamata ciclo di lunghezza k, e viene indicata con .
Esempio 11 In il ciclo rappresenta la permutazione
;
osserviamo che tale permutazione è rappresentata anche dai cicli , , .
Si può però dimostrare la seguente
Proposizione 12 Un ciclo si scrive in modo unico come , con .
Osservazione 13 Per vedere come agisce il ciclo , si possono disporre i interi, , su un cerchio, come in figura, e così osservare che manda ogni intero su questo cerchio nel successivo intero sul cerchio, nella direzione indicata dalla freccia:
In altre parole l’azione di su , consiste in una rotazione di , in senso antiorario, del cerchio su se stesso.
Se è un ciclo, poniamo ; si ha:
quindi .
Definizione 14 Se e sono due cicli di , si dice che e sono cicli disgiunti se .
Osservazione 15 Se e sono due cicli disgiunti di , allora , cioè il prodotto di cicli disgiunti è commutativo.
Dimostrazione. Sia . Si hanno le seguenti possibilità:
- : ;
- e quindi : , in quanto ;
- e quindi : .
In ogni caso si ottiene .
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