Geometria iperbolica > I modelli della geometria iperbolica> Poincaré
Il problema della coerenza della geometria iperbolica è qui ricondotto a quello della coerenza della geometria euclidea, e poiché questa non è mai stata messa in discussione, il modello stesso risulta piuttosto convincente.
Poincaré, nel suo libro La scienza e l'ipotesi del 1902, presentò il suo modello sotto forma di racconto di fantasia; mantenere questa impostazione ci libererà dalla necessità di appesantire la trattazione con la discussione di aspetti tecnici.
La descrizione che Poincaré fa nel suo libro è di un modello apparentemente diverso, ma equivalente a quello presentato qui.

Il modello
Sia dato in un piano euclideo un cerchio euclideo C di raggio R, immaginiamo che all'interno di questo cerchio viva una popolazione di esseri bidimensionali che noi osserveremo da fuori.
All'interno di C avviene uno strano fenomeno che provoca la contrazione dei campioni di lunghezza (regoli che quando sono al centro di C misurano un metro) man mano che si allontanano dal centro.
La formula che descrive quantitativamente questo fenomeno è
lunghezza di un regolo campione a distanza r dal centro = 1- r2/R2 metri,
dove r è misurata a partire dal punto medio del regolo stesso.
Se poniamo il regolo al centro (r = 0), poi lo allontaniamo procedendo verso il bordo osservandolo a metà strada (r = ½ R), a tre quarti (r = ¾ R), e così via, e ne calcoliamo la sua lunghezza, otteniamo la seguente tabella (i valori sono arrotondati alla quarte cifra decimale):
Distanza dal centro
Lunghezza del regolo (in metri)
0
1,0000
1/2 R
0,7500
1/3 R
0,4375
7/8 R
0,2344
15/16 R
0,1211
31/32 R
0,0615

Supponiamo inoltre che ogni cosa all'interno di C (compresi gli esseri che ci vivono) subisca una corrispondente variazione delle dimensioni lineari, cosicché nessun abitante di questo strano mondo possa accorgersi del fenomeno.
Un abitante alto due metri al centro del cerchio C sarà ancora alto due metri dopo essersi avvicinato al bordo, perché tutto ciò che lo circonda avrà mantenuto le proporzioni, compreso il regolo che l'abitante può utilizzare per misurarsi. Solo noi che osserviamo da fuori ci accorgiamo che l'omino rimpicciolisce allontanandosi dal centro, e con lui rimpiccioliscono tutte le cose che lo circondano.