Geometria iperbolica > I modelli della geometria iperbolica > Beltrami
La "traduzione" si ottiene interpretando la superficie pseudosferica come piano di Lobacevskji, le rette di questo piano sono le geodetiche della superficie.
Così la pseudosfera costituisce un modello della geometria iperbolica.
superficie pseudosferica regione di piano non euclideo
punto della superficie punto del piano
geodetica retta del piano
arco di geodetica segmento del piano
due punti determinano una geodetica due punti determinano una retta del piano
per un punto esterno a una geodetica passano infinite geodetiche che non si incontrano con quella data
per un punto esterno a una retta passano infinite rette parallele alla retta data
Un disegno nel piano del modello di Beltrami schematicamente illustrato qui sopra: un disco (bordo escluso) nel piano usuale, in cui le geodetiche appaiono come porzioni di rette
Per il punto P esterno alla retta r passano almeno due rette, t e t', che non incontrano la retta r.
 Per interpretare correttamente il modello è però necessario rendersi conto che:
- La misura delle distanze e degli angoli non è quella usuale; le distanze divengono tanto più grandi, e gli angoli più piccoli, rispetto a quelli usuali, quanto più ci si avvicina al bordo del disco.
- Le geodetiche sono indefinitamente estese e hanno lunghezza infinita.
Nel modello tutti gli assiomi della geometria euclidea sono soddisfatti, tranne quello delle parallele, che nel modello sono infinite.
Questo risultato assicura una non contraddittorietà relativa di questa geometria; infatti, se la geometria iperbolica fosse contraddittoria, vi sarebbe una contraddizione nella geometria della pseudosfera, la quale, a sua volta, è stata definita mediante concetti di geometria euclidea. Pertanto vi sarebbe una contraddizione nella geometria euclidea.

E' bene sottolineare che le considerazioni relative alla geometria di una superficie, dato il loro carattere locale, non sono conclusive dal punto di vista delle questioni di non contraddittorietà delle nuove geometrie. Queste considerazioni valgono infatti solo nell'intorno di ogni punto, quindi in regioni limitate, e non sull'intera superficie.
Se pensiamo per esempio ad una geometria di piccole regioni di una superficie cilindrica, possiamo pensarla coincidente con la geometria di una regione del piano (basta srotolare il cilindro), ma non possiamo dire lo stesso per l'intera superficie cilindrica, in cui le geodetiche sono chiuse (circonferenze),e altre si incontrano in infiniti punti distinti (le eliche cilindriche).
Lo stesso ragionamento vale anche per altre superfici.

Il punto più debole dell'argomentazione di Beltrami sta dunque nel fatto che il modello ha valore locale e non può rappresentare globalmente la geometria non euclidea. Infatti, tra le infinite forme che una superficie pseudosferica può assumere si conosce l'espressione analitica solo di qualche caso particolare. Beltrami l'aveva ottenuta dalla rotazione di una trattrice, e questa curva ha il difetto di avere un punto cuspidale, che ruotando dà origine a un cerchio di punti singolari della superficie: la superficie ottenuta dalla rotazione della trattrice quindi non è regolare e non può rappresentare interamente il piano non euclideo.
Il problema è allora se tra tutte le superfici, delle quali non si conosce l'espressione analitica, ne esiste almeno una che sia regolare.
Beltrami ne era convinto ma non riuscì a provarlo.
Il 13 marzo 1869 scriveva a Hoüel, un suo amico matematico francese:
  "Ho avuto nel frattempo un'idea bizzarra, che voglio comunicarle in quanto potrebbe essere per voi più facile che a me metterla in atto. Ho voluto tentare di costruire materialmente la superficie pseudosferica sulla quale si realizzano i teoremi della geometria non euclidea".  

Il modello materiale costruito in cartone aveva il diametro di 1,04 m; oggi è custodito presso il dipartimento di matematica dell'Università di Pavia. Per la sua forma, un giornale satirico dell'epoca battezzò l'oggetto "cuffia della nonna", tanto che ancora oggi il modello è anche detto "cuffia di Beltrami".



L'idea di Beltrami fu dunque quella di costruire un modello di geometria non euclidea prendendo come spazio una superficie di curvatura costante negativa e come rette le sue geodetiche. Una seria difficoltà fu che nello spazio ordinario non ci sono superfici di curvatura costante negativa le cui geodetiche si possano estendere indefinitamente.

Nel 1901 Hilbert dimostra rigorosamente che il modello descritto da Beltrami ha un valore esclusivamente locale e non può essere accettato come prova matematica.
E in un teorema afferma che:

non esiste alcuna superficie regolare su cui valga nella sua completezza la geometria di Lobacesvkji e Bolyai.

A questo si aggiunge il teorema di Liebmann:

Una superficie su cui valesse nella sua completezza la geometria di Riemann deve essere chiusa e l'unica superficie chiusa a curvatura costante positiva è la sfera.

D'altra parte le geodetiche della sfera, che sono i cerchi massimi, si incontrano sempre in due punti opposti, per cui:

Nello spazio euclideo non esiste alcuna superficie che soddisfi integralmente le geometrie non euclidee.
Il modello di Beltrami, pur non essendo un modello rigoroso, è molto importante da un punto di vista storico: è stato il primo di diversi modelli che hanno iniziato a far cadere le opposizioni preconcette verso i nuovi sistemi geometrici e ha fornito la chiave per interpretare le nuove geometrie non euclidee.

Per la conoscenza di un altro modello della geometria iperbolica si veda il modello di Poincaré.

Modello di Poincaré