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Circle Limit III

Escher non era soddisfatto del suo Circle Limit I per tre motivi:
(1) i pesci non seguono tutti lo stesso flusso (che segue le spine dorsali dei pesci) ma invertono il senso di marcia a due a due
(2) lungo le corrente del traffico i pesci sono di colori diversi
(3) i pesci sono molto geometrici e spigolosi, senza i profili curvi di quelli reali
Un'altra critica, che Escher non ha fatto, è che i pesci neri e bianchi non sono uguali (gli angoli del naso sono differenti), così non c'è simmetria di colore.
Una soluzione alla prima critica è possibile basando il pattern dei pesci su una tassellazione { 6.6 }, come appare in figura 4 qui sotto.



Figura 4: Un modello dei pesci angolari basati su una tassellazione { 6.6 }.

Questo mostra una soluzione alla prima critica, poiché tutti i pesci nuotano nello stesso senso seguendo la linea disegnata dalle spine dorsali. Notiamo inoltre che tre linee attraversano i punti di unione dei nasi dei pesci. Ciò conduce alla congettura che il modello potrebbe essere colorato con tre colori, un colore per ogni linea. Effettivamente questo può essere fatto come è indicato in figura 5 qui sotto, dove i tre colori sottolineano le simmetrie. Questa è una risposta alla seconda critica di Escher.



Figura 5: Il modello di figura 4 colorato con tre colori.
Escher ha superato tutti e tre i motivi di critica del Circle Limit I nel suo Circle Limit III, che ha una simmetria in quattro colori ed è basato su una tassellazione { 8.3 }, come è indicato nella figura 6 qui sotto.
Si noti che i nasi e le punte della pinna sinistra dei pesci sono ai vertici alternati degli ottagoni.


Figura 6: Il Circle Limit III di Escher con la tassellazione { 8.3 } evidenziata.


Nel descrivere la sua stampa a Coxeter, Escher scrisse:
"As all these strings of fish shoot up like rockets from infinitely far away, perpendicularly from the boundary, and fall back again whence they came, not one single component ever reaches the edge."

"poiché tutte queste sequenze di pesci balzano fuori come razzi da infinitamente lontano, perpendicolarmente al contorno, e ricadono donde sono venuti, un singolo elemento non raggiunge mai il bordo (pagina 20 del [ CO2 ])".



Figura 7: Il Circle Limit III