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L'arte iperbolica

Gli artisti hanno creato "pattern" su superfici piane per millenni e su sfere per centinaia di anni. Ma soltanto recentemente il piano iperbolico è stato utilizzato per scopi artistici, sebbene i matematici abbiano iniziato a disegnare pattern iperbolici più di 100 anni fa (si veda [ Ma1 ] per gli esempi).
M. C. Escher fu probabilmente il primo artista ad usare tutte e tre le geometrie: la geometria euclidea, quella sferica e quella iperbolica. Egli infatti ha realizzato il suo pattern di angeli e diavoli in ciascuna di queste geometrie [ Co4 ]. Qui verrà illustrata parte della storia dell'arte iperbolica cominciando dall'ispirazione di Escher da una figura dal matematico H. S. M. Coxeter.

Escher e la geometria iperbolica

"Ripetizione e moltiplicazione, due parole semplicissime. Tuttavia la totalità del mondo che è possibile percepire attraverso i nostri sensi conoscerebbe una disintegrazione caotica se non potessimo riferirci a queste nozioni [...]. A volte ho l'impressione di aver percorso questo campo per tutta la sua estensione, ammirato tutti i panorami, seguite tutte le strade, ma ecco che ne scopro ancora un'altra che mi procura una nuova gioia".

M. C. Escher, 1956

Coxeter ed Escher iniziarono a scriversi dopo il primo incontro al congresso internazionale dei matematici nel 1954. Nel 1958 Coxeter spedì ad Escher una lettera che conteneva una ristampa della sua Crystal Symmetry and Its Generalizations [ Co1 ], dove c'era una tassellazione in triangoli del piano iperbolico nel modello del disco di Poincaré come la seguente:

Nel 1901 David Hilbert ha essenzialmente dimostrato che non esiste alcuna superficie regolare nello spazio euclideo su cui valga nella sua completezza la geometria iperbolica, quindi dobbiamo contare sui modelli matematici per osservarla [ He1 ]. Questi modelli devono necessariamente distorcere le distanze e a volte gli angoli. Uno di questi modelli, quello del disco di Poincaré, ha due proprietà utili ai fini artistici: è tale che la misura iperbolica di un angolo sia uguale alla relativa misura euclidea - così un oggetto trasformato ha approssimativamente la stessa forma dell'originale - e si trova all'interno di una regione limitata del piano euclideo - di modo che può essere osservato nella sua totalità.
I punti del modello del disco di Poincaré della geometria iperbolica sono i punti interni di un cerchio delimitante una porzione del piano euclideo. In questo modello, le linee iperboliche sono rappresentate dagli archi di circonferenze che sono perpendicolari al cerchio limitante, compresi i diametri. Le figure 1 e 2 mostrano esempi di questi archi di circonferenze ortogonali. Le distanze iperboliche uguali sono rappresentate dalle distanze euclidee sempre più piccole man mano che ci si avvicina al cerchio limite. Per esempio, tutti i triangoli nella figura 1 hanno la stessa grandezza iperbolica, come tutti i pesci neri (o I pesci bianchi) di figura 2. I pattern nelle figure 1 e 2 sono strettamente collegati alla tassellazione iperbolica regolare { 6.4 } come appare in figura 3 qui sotto. In generale, { p,q } denota la tessellazione regolare in poligoni regolari di p lati tali che ad ogni vertice se ne incontrano q.