Esempi 5  
1)
Sia $G$ un gruppo.
$G$ e $\{1 \}$ sono sottogruppi di $G$ detti sottogruppi banali.
2)
$(\mathbb{Z} ,+)$, $(\mathbb{Q} ,+)$ sono sottogruppi di $(\mathbb{R} ,+)$.
3)
Se si identificano i reali con i complessi con parte immaginaria nulla, $\mathbb{R} $ è un sottoinsieme di $\mathbb{C} $; inoltre $(\mathbb{R} ,+)$ è un sottogruppo di $(\mathbb{C} ,+)$ e $(\mathbb{R} ^{*},\cdot)$ è un sottogruppo di $(\mathbb{C} ^{*},\cdot)$.
4)
Si consideri il gruppo $(\mathbb{R} ^{*},\cdot)$.
Poniamo $\mathbb{R} ^{+} := \{x\in \mathbb{R}\mid x > 0 \}$ e $\mathbb{R} ^{-} := \{x\in \mathbb{R}\mid x < 0 \}$.
Allora $(\mathbb{R} ^{+},\cdot )$ è un sottogruppo di $(\mathbb{R} ^{*},\cdot)$, mentre $(\mathbb{R} ^{-}, \cdot)$ non è un sottogruppo di $(\mathbb{R} ^{*},\cdot)$ non essendo chiuso rispetto al prodotto: $(-2)(-3) = 6 \notin \mathbb{R} ^{-}$.
5)
Si consideri $S_{3}$. Gli insiemi

\begin{displaymath}\left\{ \left(\begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 1&2&3 \end{array}\r... ...ft(\begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 2&1&3\end{array}\right)\right\},\end{displaymath}


\begin{displaymath}\left\{\left(\begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 1&2&3\end{array}\rig... ...ft(\begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 3&2&1\end{array}\right)\right\},\end{displaymath}


\begin{displaymath}\left\{\left(\begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 1&2&3\end{array}\rig... ...ft(\begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 1&3&2\end{array}\right)\right\},\end{displaymath}


\begin{displaymath}\left\{\left(\begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 1&2&3\end{array}\rig... ...ft(\begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 2&3&1\end{array}\right)\right\},\end{displaymath}

sono sottogruppi di $S_{3}$.

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