Definizione 1   Sia $G$ un gruppo e sia $H$ un suo sottoinsieme; $H$ è un sottogruppo di $G$ se sono verificate le seguenti condizioni:
1)
$1\in H$;
2)
$\forall h_{1}, h_{2}$ $\in H$, $h_{1}h_{2}$ $\in H$;
3)
$\forall h\in H$, $h^{-1}\in H$.

Osservazione 2   Se $H$ è un sottoinsieme non vuoto di un gruppo $G$, la condizione $1$della definizione 1 può essere dedotta dalle condizioni $2$ e $3$: se $a\in H$, $1=a a^{-1}\in H$.
La condizione $2$ della definizione 1 si esprime dicendo che $H$ è chiuso rispetto al prodotto.

 

Osservazione 3   Sia $H$ un sottoinsieme non vuoto di $G$; $H$ è un sottogruppo di $G$ se e solo se $h_{1} h_{2}^{-1}\in H$, $\forall
h_{1},h_{2}\in H$.
Infatti se $H$ è un sottogruppo di $G$, ovviamente $h_{1} h_{2}^{-1}\in H$, $\forall
h_{1},h_{2}\in H$; viceversa se $\forall
h_{1},h_{2}\in H$, $h_{1} h_{2}^{-1}\in H$, si ha:
Proposizione 4   Sia $G$ un gruppo. Allora:
1)
se $H$ è un sottogruppo di $G$, $H$ con l'operazione $\cdot$ ristretta ad $H$ stesso, è un gruppo;
2)
se $\{\,H_{i}\,\}_{i\in I}$ è una famiglia di sottogruppi di $G$, anche $H$ = $\bigcap_{i\in I}H_{i}$ è un sottogruppo di $G$.

Dimostrazione
La prima affermazione è ovvia; per provare la seconda osserviamo che:

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