Definizione 1 Sia

un gruppo e sia

un suo sottoinsieme;

è un sottogruppo di

se sono verificate le seguenti condizioni:

1): $1\in H$ ;
2): $\forall h_{1}, h_{2}$ $\in H$ , $h_{1}h_{2}$ $\in H$ ;
3): $\forall h\in H$ , $h^{-1}\in H$ .

Osservazione 2 Se è un sottoinsieme non vuoto di un gruppo , la condizione della definizione 1 può essere dedotta dalle condizioni e : se $a\in H$ , $1=a a^{-1}\in H$ .
La condizione della definizione 1 si esprime dicendo che è chiuso rispetto al prodotto.

Osservazione 3 Sia

un sottoinsieme non vuoto di

;

è un sottogruppo di

se e solo se $h_{1} h_{2}^{-1}\in H$ , $\forall h_{1},h_{2}\in H$ .
Infatti se

è un sottogruppo di

, ovviamente $h_{1} h_{2}^{-1}\in H$ , $\forall h_{1},h_{2}\in H$ ; viceversa se $\forall h_{1},h_{2}\in H$ , $h_{1} h_{2}^{-1}\in H$ , si ha:

$1=h h^{-1}\in H$ , $\forall h\in H$ ( $H\neq \emptyset$ , quindi esiste almeno un in );
se $h\in H$ , $h^{-1}=1 h^{-1}\in H$ ;
se $h_{1},h_{2}\in H$ , $h_{1} h_{2}=h_{1} (h_{2}^{-1})^{-1}\in H$ , poiché $h_{2}^{-1}\in H$ per quanto provato al punto precedente.

Proposizione 4 Sia

un gruppo. Allora:

1): se è un sottogruppo di , con l'operazione $\cdot$ ristretta ad stesso, è un gruppo;
2): se $\{\,H_{i}\,\}_{i\in I}$ è una famiglia di sottogruppi di , anche = $\bigcap_{i\in I}H_{i}$ è un sottogruppo di .

Dimostrazione
La prima affermazione è ovvia; per provare la seconda osserviamo che:

$1\in H$ ;
se $a,b \in H$ allora $a,b \in H_{i}$ $\forall i\in I$ , quindi $a b \in H_{i}$ $\forall i\in I$ che implica $a b\in H$ ;
se $a\in H$ allora $a \in H_{i}$ $\forall i\in I$ , quindi $a^{-1}\in H_{i}$ $\forall i\in I$ cioè $a^{-1}\in H$ .