Definizione 1   Sia $f:G \rightarrow G'$ un omomorfismo di gruppi.
Chiamiamo nucleo di $f$, e lo indichiamo con $\ker f$, il sottoinsieme $f^{-1}(\{1'\})$ di $G$, dove $1'$ è l'elemento neutro di $G'$.
L'immagine di $f$, denotata con $Im f$, è invece il sottoinsieme $f(G)$ di $G'$.

Proposizione 2   Sia $f:G \longrightarrow G'$ un omomorfismo di gruppi.
Allora $\ker f$ è un sottogruppo normale di $G$, e $Im f$ è un sottogruppo di $G'$.
Dimostrazione
$\ker f$ e $Im f$ sono sottogruppi di $G$ e $G'$ rispettivamente, per proposizione 3 della sezione "Omomorfismi di gruppi".
$\ker f$ è normale in $G$:
$\forall x \in G$ e $\forall h \in
\ker f$, si ha $f(xhx^{-1}) = f(x)f(h)f(x^{-1}) =
f(x)1'f(x)^{-1} = 1'$, cioè $xhx^{-1} \in \ker
f$.

Proposizione 3   Sia $f:G \longrightarrow G'$ un omomorfismo di gruppi. L'applicazione $f$ è iniettiva se e solo se $\ker f = \{1\}$.
Dimostrazione
Sia $f$ iniettiva, e sia $ x\in \ker f$. Si ha: $f(x) = 1' = f(1)$. Allora $x = 1$ per l'iniettività di $f$, e quindi $\ker f = \{1\}$.
Supponiamo ora che $\ker f = \{1\}$. Siano $x , y \in G$ tali che $f(x) = f(y)$. Si ha: $1' = f(x)f(y)^{-1} = f(x)
f(y^{-1}) = f(xy^{-1})$. Questo implica $x
y^{-1} \in \ker f$, cioè $xy^{-1} = 1$ e quindi $x = y$; $f$ è dunque iniettiva.


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