Proposizione 2
Sia
un omomorfismo di gruppi.
Allora
è un sottogruppo normale di ,
e
è un sottogruppo
di .
Dimostrazione
e
sono sottogruppi di
e
rispettivamente, per
proposizione 3 della sezione "Omomorfismi di gruppi".
è normale in :
e
,
si ha
,
cioè
.
Proposizione 3
Sia
un omomorfismo di gruppi. L'applicazione
è iniettiva se e solo se
.
Dimostrazione
Sia
iniettiva, e sia
.
Si ha:
.
Allora
per l'iniettività di ,
e quindi
.
Supponiamo ora che
.
Siano
tali che
.
Si ha:
.
Questo implica
,
cioè
e quindi ;
è dunque iniettiva.