
	Klein e la nuova definizione di Geometria

La creazione della Geometria non Euclidea fu il passo più rivoluzionario e più denso di conseguenze compiuto in matematica dal tempo dei Greci. La nascita di queste nuove teorie cambiò il pensiero dei matematici nei confronti della geometria. Infatti prima della "rivoluzione non euclidea" si riteneva che l'unica geometria possibile fosse quella Euclidea perché in grado di descrivere la realtà e rafforzata dal fatto che ormai persisteva da secoli. Ma quando si è dimostrata l'esistenza di altre geometrie ugualmente valide, allora si pensò alla geometria come branca della matematica che dava possibilità di ricerca e di inventiva perchè si poteveno creare nuove geometrie purché fossero coerenti (comunque a tutt'oggi la geometria più diffusa è ovviamente quella Euclidea perché è quella semplice da utilizzare nello studio dei fenomeni direttamente osservabili dai nostri sensi).
Il primo matematico che riunì tutte le geometrie sotto un nuovo modo di concepire che cosa fosse "una geometria" fu Felix Klein (1849-1925), perché diede una definizione costruttiva e generale di geometria con la quale si ottenevano tutte le geometrie allora conosciute. Ogni geometria era definita come quell'insieme di enti di cui particolari proprietà erano invarianti rispetto a gruppi di trasformazioni.

Klein, professore all'Università di Gottingen, fu uno dei più inportanti matematici tedeschi del periodo a cavallo fra l'ottocento e il novecento.

Il successo ottenuto da Klein nel ricondurre le varie geometrie metriche nell'ambito della geometria proiettiva lo indusse a cercare di caratterizzare le diverse geometrie non soltanto sulla base delle proprietà metriche e non metriche e delle differenze fra le varie metriche, ma dal punto di vista più generale di ciò che queste geometrie e tutte le altre geometrie che erano già comparse si poneveno come obiettivo. Klein diede questa caratterizzazione nella prolusione da lui pronunciata nel 1872 in occasione della sua chiamata all'Università di Erlangen e intitolata Vergleichende Batrachtungen uber neuere geometrische Forschungen (esame comparato delle ricerche recenti in geometria). Per questo motivo le opinioni in essa espresse sono diventate note come Programma di Erlangen.
L'idea fondamentale di Klein è che ogni geometria può essere caratterizzata da un gruppo di trasformazioni e che il vero oggetto della geometria sono le proprietà invarianti rispetto a questo gruppo di trasformazioni. Inoltre una sottogeometria di una geometria data è l'insieme delle proprietà che sono invarianti rispetto alle trasformazioni di un sottogruppo del gruppo originale. Con questa definizione tutti i Teoremi di una geometria corrispondente a un dato gruppo, continuano ad essere Teoremi della geometria corrispondente al sottogruppo.

    Un esempio di geometria piana definita da Klein è la Geometria Affine che è l'insieme delle proprietà e delle relazioni che sono invarianti rispetto al gruppo affine, che è il gruppo di quelle trasformazioni che mandano rette in rette e rette parallele in rette parallele (le distanze e gli angoli possono invece essere alterati). Un altro esempio di definizione in questo senso è la Topologia, caratterizzata da quelle proprietà invarianti rispetto a trasformazioni continue e biunivoche che posseggono un'inversa continua, cioè quelle che sono oggi dette omeomorfismi (intuitivamente si tratta di "deformazioni elastiche" del piano).
    Il punto di vista kleiniano ha fornito un metodo sistematico per studiare e classificare gran parte della geometria e ha suggerito numerosi problemi di ricerca. La sua "definizione" di geometria ha guidato il pensiero geometrico per circa cinquant'anni.
    In questo quadro la geometria più diffusa è la Geometria Euclidea perché è la più adatta a descrivere il mondo rispetto a come direttamente osservato dai nostri sensi, e dove si pensa alle trasformazioni delle figure come a "movimenti rigidi" delle stesse (traslazioni, rotazioni, simmetrie).

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