definizione di morfismo proiettivo

Nota $\;$ Tutti gli spazi vettoriali considerati, anche se non esplicitamente detto, hanno dimensione finita.

1 DEFINIZIONE-PROPOSIZIONE Sia $\varphi:\mathbf{V} \longrightarrow \mathbf{V'}$ un'applicazione lineare iniettiva di $\mathrm{K}$ -spazi vettoriali di dimensione finita.
Allora $\varphi$ induce un'applicazione iniettiva di spazi proiettivi

$\begin{displaymath}\begin{array}{cccl} f: & \mathbf{P(V)} & \longrightarrow & \... ...mathbf{v} ] & \longmapsto & [\varphi (\mathbf{v}) ] \end{array}\end{displaymath}$

detta il morfismo di spazi proiettivi indotto da $\varphi.$

Dimostrazione
Facciamo vedere innanzitutto che è ben definita.
L'applicazione $\varphi$ è iniettiva, quindi se $\mathbf{v} \neq 0,$ allora $\varphi (\mathbf{v}) \neq 0.$ Pertanto possiamo considerare $[\varphi (\mathbf{v}) ].$
Inoltre, dato $[\mathbf{v} ]=[\mathbf{w} ],$ allora $f([\mathbf{v} ])=f([\mathbf{w} ]).$ Infatti $[\mathbf{v} ]=[\mathbf{w} ]$ se e solo se esiste $\lambda \in \mathrm{K}^{\ast}$ tale che $\mathbf{v}=\lambda \mathbf{w}.$ In questo caso $f([\mathbf{v} ])=[\varphi (\mathbf{v}) ]=[\varphi (\lambda \mathbf{w}) ] \stack... ...e}{=}[\lambda \varphi (\mathbf{w}) ]= [\varphi (\mathbf{w}) ]=f([\mathbf{w} ]).$

Dimostriamo ora che è iniettiva, cioè che $f([\mathbf{v} ])=f([\mathbf{w} ])$ implica $[\mathbf{v} ]=[\mathbf{w} ].$
Sia dunque $f([\mathbf{v} ])=f([\mathbf{w} ]);$ questo significa che $[\varphi (\mathbf{v}) ]=[\varphi (\mathbf{w}) ],$ cioè che esiste $\lambda \in \mathrm{K}^{\ast}$ tale che $\varphi (\mathbf{v})=\lambda \varphi (\mathbf{w});$ essendo $\varphi$ lineare, quest'uguaglianza vale se e solo se $\varphi (\mathbf{v})=\varphi (\lambda \mathbf{w}).$ Ma $\varphi$ è iniettiva, quindi da quest'ultima uguaglianza si ricava $\mathbf{v}=\lambda \mathbf{w},$ cioè $[\mathbf{v} ]=[\mathbf{w} ].$