10.1 Certamente $\mathcal{A}=P_0\vee\ldots\vee P_n$ -abbiamo $n+1$ punti indipendenti in uno spazio affine di dimensione $n$- per cui $f(\mathcal{A})=\mathsf{S}(f(P_0),\varphi(\mathsf{giac}(P_0\vee\ldots\vee P_n)))$.
A questo punto, utilizzando prima parte di proposizione 9 e le considerazioni sulla giacitura di un sottospazio generato da punti, otteniamo $\varphi(\mathsf{giac}(P_0\vee\ldots\vee P_n))=\varphi(<\overrightarrow{P_0 P_1... ...)=<\varphi(\overrightarrow{P_0 P_1}),\ldots,\varphi(\overrightarrow{P_0 P_1})>$.
Ora basta applicare la definizione di applicazione affine per ottenere $f(\mathcal{A})=\mathsf{S}(f(P_0),<\overrightarrow{f(P_0)f(P_1)},\ldots,\overrightarrow{f(P_0)f(P_n)}>)$, ma grazie a quanto detto sui sottospazi generati da punti (vedi nuovamente le considerazioni sulla giacitura di un sottospazio generato da punti) è immediato riconoscere che il secondo membro è proprio $f(P_0)\vee\dots\vee f(P_n)$