7.
 $\Rightarrow$) Poniamo $ \mathcal{S}=\mathsf{S}(P,\mathbf{U})$ e $ \mathcal{T}=\mathsf{S}(Q,\mathbf{U})$ sappiamo già che vale $2)$, dimostriamo dunque $1)$: occorre trovare $\mathcal{L} \subseteq \mathcal{A}$ sottospazio affine di dimensione $d+1$ tale che $\mathcal{S},\mathcal{T}\subseteq\mathcal{L}$.
Consideriamo il vettore $\stackrel{\displaystyle{\longrightarrow}}{PQ}\; \in \mathbf{V}$, si presentano due casi:
1.
$\stackrel{\displaystyle{\longrightarrow}}{PQ}\;\not \in \mathbf{U}$

in tal caso $\mathbf{Z}:=\mathbf{U}+<\stackrel{\displaystyle{\longrightarrow}}{PQ}>$ è un sottospazio vettoriale $\mathbf{V}$ di dimensione $d+1$ -e ciò deriva da semplici considerazioni di algebra lineare.
Affermiamo che $\mathcal{L}:=\mathsf{S}(P,\mathbf{Z})$ è un sottospazio affine che fa al caso nostro: ha dimensione $d+1$ e contiene $\mathcal{S}$ e $\mathcal{T}$:
(a)
$se\; A \in \mathcal{S}\;\Rightarrow\;\stackrel{\displaystyle{\longrightarrow}}{... ...} \subseteq \mathbf{Z}\;\Rightarrow\;A \in \mathcal{L}=\mathsf{S}(P,\mathbf{Z})$
(b)
$se\; B \in \mathcal{T}\;\Rightarrow\;\stackrel{\displaystyle{\longrightarrow}}{... ...}{QB} \;\in\mathbf{Z}\;\Rightarrow\; B \in \mathcal{L}=\mathsf{S}(P,\mathbf{Z})$
2.
$\stackrel{\displaystyle{\longrightarrow}}{PQ}\; \in \mathbf{U}$
allora $\mathcal{S} \cap \mathcal{T} \neq \emptyset$ e dall'esercizio 2.5 della sezione "Sottospazi affini" scende che $\mathcal{S} = \mathcal{T}$; a questo punto, scelto un arbitrario sottospazio vettoriale $\mathbf{Z}$ di $\mathbf{V}$ di dimensione $d+1$ contenente $\mathbf{U}$, affermiamo che $\mathcal{L}:=\mathsf{S}(P,\mathbf{Z})$ fa al caso nostro e la prova è identica a quella precedente.

$\Leftarrow$) Se $\mathcal{S} = \mathcal{T}$ allora $\mathcal{S} \parallel \mathcal{T}$.
Supponiamo che $\mathcal{S} \cap\mathcal{T} = \emptyset$ e che esista un sottospazio affine $\mathcal{L} $ $(d+1)$-dimensionale contenente entrambi. Allora possiamo considerare $\mathcal{S},\mathcal{T}$ come sottospazi di $\mathcal{L} $; visti cosí essi sono iperpiani e possiamo applicare la proposizione 6 .


come torno indietro?