ESERCIZI: SOTTOSPAZI GENERATI DA PUNTI

22. ESERCIZI

22.1 Sia $\mathcal{A}$ spazio affine su $\mathbf{V}$ e poniamo $\mathsf{dim}\mathcal{A}=n$ ; sia $d \in \mathbf{N}\;,\;1\leq d \leq n+1$ ; dimostrare che è sempre possibile trovare punti indipendenti.

22.2 Sia $\mathcal{A}$ spazio affine su $\mathbf{V}$ e poniamo $\mathsf{dim}\mathcal{A}=n$ ; sia $d \in \mathbf{N}\;,\;1\leq d \leq n+1$ ; dimostrare che, dati punti indipendenti $P_1, \ldots, P_d$ , allora $P_1 \vee \ldots \vee P_d$ è l'unico sottospazio affine -dimensionale che li contiene.

22.3 Sia $\mathcal{A}$ spazio affine su $\mathbf{V}$ e poniamo $\mathsf{dim}\mathcal{A}=n$ ; sia $d \in \mathbf{N}\;,\;1\leq d \leq n+1$ e siano $P_1, \ldots, P_d$ punti indipendenti;

Sia $Q \in \mathcal{A}$ ; allora $P_1, \ldots, P_d , Q$ sono indipendenti $\Leftrightarrow \;\;Q \not \in P_1 \vee \ldots \vee P_d$
Provare che se $d' \in \mathbf{N}\;,\;d \leq d' \leq n+1$ allora esiste un insieme di punti indipendenti contenente $\{ P_1, \ldots, P_d \}$ .